Na matemática, a álgebra de Lie linear especial de ordem sobre um corpo , denotada por ou , é a álgebra de Lie de todas as matrizes (com entradas em ) de traço zero e com o colchete de Lie dado pelo comutador. Esta álgebra é bem estudada e compreendida, sendo frequentemente utilizada como modelo para o estudo de outras álgebras de Lie. O grupo de Lie que ela gera é o grupo linear especial.

Aplicações A álgebra de Lie é central para o estudo da relatividade restrita, da relatividade geral e da supersimetria: sua representação fundamental é a chamada representação espinorial, enquanto sua representação adjunta gera o Grupo de Lorentz SO(3,1) da relatividade restrita.

[Image of light cone in Minkowski spacetime]

A álgebra desempenha um papel importante no estudo da teoria do caos e dos fractais, pois gera o Grupo de Möbius SL(2,R), que descreve os automorfismos do plano hiperbólico, a superfície de Riemann mais simples de curvatura negativa; em contrapartida, SL(2,C) descreve os automorfismos da bola hiperbólica tridimensional.

Teoria de representação

Teoria de representação de sl2C A álgebra de Lie é uma álgebra de Lie complexa tridimensional. Sua característica definidora é que ela contém uma base que satisfaz as relações de comutação

, e .

Esta é uma Base de Cartan-Weyl para . Ela possui uma realização explícita em termos de matrizes complexas 2 por 2 com traço nulo:

, , .

Esta é a representação fundamental ou definidora para .

A álgebra de Lie pode ser vista como um subespaço da sua álgebra envolvente universal e, em , existem as seguintes relações de comutador demonstradas por indução:

, .

Note que, aqui, as potências , etc., referem-se a potências como elementos da álgebra U e não a potências de matrizes. O primeiro fato básico (que se segue das relações de comutador acima) é:

A partir deste lema, deduz-se o seguinte resultado fundamental:

A primeira afirmação é verdadeira uma vez que ou é zero ou possui um -autovalor distinto dos autovalores dos outros que são não nulos. Dizer que é um vetor de peso é equivalente a dizer que ele é simultaneamente um autovetor de e ; um breve cálculo mostra então que, nesse caso, o -autovalor de é zero: . Assim, para algum inteiro , e, em particular, pelo lema anterior,

o que implica que . Resta mostrar que é irredutível. Se é uma sub-representação, então ela admite um autovetor, que deve ter um autovalor da forma ; logo, é proporcional a . Pelo lema precedente, temos que está em e, portanto, .

Como corolário, deduz-se:

Se tem dimensão finita e é irredutível, então o -autovalor de v é um número inteiro não negativo e possui uma base . Reciprocamente, se o -autovalor de for um número inteiro não negativo e for irredutível, então possui uma base ; em particular, tem dimensão finita.

O belo caso especial de mostra uma maneira geral de encontrar representações irredutíveis de álgebras de Lie. Ou seja, dividimos a álgebra em três subálgebras "h" (a subálgebra de Cartan), "e" e "f", que se comportam aproximadamente como os seus homônimos em . Em outras palavras, numa representação irredutível, temos um "maior" autovetor de "h", sobre o qual "e" atua como zero. A base da representação irredutível é gerada pela ação de "f" sobre os maiores autovetores de "h".

Teoria de representação de slnC

Quando para um espaço vetorial complexo de dimensão , cada representação irredutível de dimensão finita de pode ser encontrada como uma sub-representação de uma potência tensorial de .

A álgebra de Lie pode ser explicitamente realizada como uma álgebra de Lie de matrizes sem traço. Esta é a representação fundamental para .

Seja a matriz com o valor um na entrada e zeros em todos os outros lugares. Então

Formam uma base para . Tecnicamente, isto é um abuso de notação, e estas são, na verdade, a imagem da base de na representação fundamental.

Além disso, esta é de fato uma base de Cartan-Weyl, com os gerando a subálgebra de Cartan. Introduzindo a notação se , e , também se , os são raízes positivas e os são as raízes negativas correspondentes.

Uma base de raízes simples é dada por para .

Bibliografia

Etingof, Pavel. "Lecture Notes on Representation Theory".

A. L. Onishchik, E. B. Vinberg, V. V. Gorbatsevich, Structure of Lie groups and Lie algebras. Lie groups and Lie algebras, III. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 41. Springer-Verlag, Berlin, 1994. iv+248 pp. (Tradução de Current problems in mathematics. Fundamental directions. Vol. 41, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscou, 1990. Tradução por V. Minachin. Tradução editada por A. L. Onishchik e E. B. Vinberg) V. L. Popov, E. B. Vinberg, Invariant theory. Algebraic geometry. IV. Linear algebraic groups. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55. Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi+284 pp. (Tradução de Algebraic geometry. 4, Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscou, 1989. Tradução editada por A. N. Parshin e I. R. Shafarevich) . Categoria:Álgebra de Lie Categoria:Grupos de Lie