Na matemática, o nome grupo simplético pode se referir a duas coleções diferentes, mas intimamente relacionadas, de grupos matemáticos, denotadas por e para um inteiro positivo n e um corpo F (geralmente C ou R). O último é chamado de grupo simplético compacto e também é denotado por . Muitos autores preferem notações ligeiramente diferentes, geralmente diferindo por fatores de . A notação usada aqui é consistente com o tamanho das matrizes mais comuns que representam os grupos. Na classificação de Cartan das álgebras de Lie simples, a álgebra de Lie do grupo complexo é denotada por , e é a forma real compacta de . Note que, quando nos referimos ao grupo simplético (compacto), está implícito que estamos falando da coleção de grupos simpléticos (compactos), indexados por sua dimensão .
O nome "grupo simplético" foi cunhado por Hermann Weyl como um substituto para os nomes confusos anteriores grupo de complexo (de retas) e grupo linear abeliano, sendo o análogo grego da palavra "complexo".
O grupo metaplético é um revestimento duplo do grupo simplético sobre R; ele tem análogos sobre outros corpos locais, corpos finitos e anéis de adeles.
O grupo simplético é um grupo clássico definido como o conjunto de transformações lineares de um espaço vetorial de dimensão sobre o corpo que preservam uma forma bilinear antissimétrica não degenerada. Tal espaço vetorial é chamado de espaço vetorial simplético, e o grupo simplético de um espaço vetorial simplético abstrato é denotado por . Ao fixar uma base para , o grupo simplético torna-se o grupo de matrizes simpléticas de tamanho , com entradas em , sob a operação de multiplicação de matrizes. Este grupo é denotado por ou . Se a forma bilinear for representada pela matriz não singular e antissimétrica Ω, então
onde MT é a transposta de M. Frequentemente Ω é definida como sendo
onde In é a matriz identidade. Neste caso, pode ser expresso como aquelas matrizes em blocos , onde , satisfazendo as três equações:
Como todas as matrizes simpléticas têm determinante , o grupo simplético é um subgrupo do grupo linear especial . Quando , a condição simplética sobre uma matriz é satisfeita se, e somente se, o determinante for um, de modo que . Para , existem condições adicionais, o que significa que é então um subgrupo próprio de .
Normalmente, o corpo é o corpo dos números reais ou números complexos . Nestes casos, é um grupo de Lie real ou complexo de dimensão real ou complexa , respectivamente. Estes grupos são conexos, mas não compactos.
O centro de consiste nas matrizes e , contanto que a característica do corpo não seja ."Symplectic group", Encyclopedia of Mathematics. Acessado em 13 de dezembro de 2014. Como o centro de é discreto e o seu quociente módulo o centro é um grupo simples, é considerado um grupo de Lie simples.
O posto real da álgebra de Lie correspondente e, portanto, do grupo de Lie , é .
A álgebra de Lie de é o conjunto
equipado com o comutador como seu colchete de Lie. Prop. 3.25 Para a forma bilinear antissimétrica padrão , esta álgebra de Lie é o conjunto de todas as matrizes em blocos sujeitas às condições
O grupo simplético sobre o corpo dos números complexos é um grupo de Lie simples, não compacto e simplesmente conexo. A definição deste grupo não inclui conjugados (ao contrário do que se poderia ingenuamente esperar), mas em vez disso é exatamente a mesma definição, exceto pela mudança de corpo.
é a complexificação do grupo real . é um grupo de Lie simples real, conexo e não compacto."Is the symplectic group Sp(2n, R) simple?", Stack Exchange. Acessado em 14 de dezembro de 2014. Ele tem um grupo fundamental isomorfo ao grupo dos inteiros sob adição. Como a forma real de um grupo de Lie simples, sua álgebra de Lie é uma álgebra de Lie cindível.
Algumas propriedades adicionais de :
A aplicação exponencial da álgebra de Lie para o grupo não é sobrejetiva. No entanto, qualquer elemento do grupo pode ser representado como o produto de duas exponenciais."Is the exponential map for Sp(2n, R) surjective?", Stack Exchange. Acessado em 5 de dezembro de 2014. Em outras palavras,
Para todo em :
A matriz é definida positiva e diagonal. O conjunto desses s forma um subgrupo não compacto de , enquanto forma um subgrupo compacto. Essa decomposição é conhecida como decomposição de 'Euler' ou 'Bloch-Messiah'."Standard forms and entanglement engineering of multimode Gaussian states under local operations – Serafini and Adesso", Acessado em 30 de janeiro de 2015. Mais propriedades sobre matrizes simpléticas podem ser encontradas na respectiva página da Wikipédia.
Como um grupo de Lie, possui uma estrutura de variedade. A variedade para é difeomorfa ao produto cartesiano do grupo unitário com um espaço vetorial de dimensão ."Symplectic Geometry – Arnol'd and Givental", Acessado em 30 de janeiro de 2015.
Geradores infinitesimais Os membros da álgebra de Lie simplética são as matrizes hamiltonianas.
Estas são matrizes, , tais queonde e são matrizes simétricas. Veja grupo clássico para uma derivação.
Exemplo de matrizes simpléticas Para , o grupo de matrizes com determinante , as três matrizes simpléticas com entradas são:Symplectic Group, (fonte: Wolfram MathWorld), baixado em 14 de fevereiro de 2012
Sp(2n, R) Acontece que pode ter uma descrição razoavelmente explícita usando geradores. Se deixarmos denotar as matrizes simétricas , então é gerado por ondesão subgrupos de pg 173pg 2.
Relação com a geometria simplética A geometria simplética é o estudo das variedades simpléticas. O espaço tangente a qualquer ponto de uma variedade simplética é um espaço vetorial simplético."Lecture Notes – Lecture 2: Symplectic reduction", Acessado em 30 de janeiro de 2015. Como notado anteriormente, as transformações que preservam a estrutura de um espaço vetorial simplético formam um grupo e esse grupo é , dependendo da dimensão do espaço e do corpo sobre o qual ele está definido.
Um espaço vetorial simplético é, por si só, uma variedade simplética. Uma transformação sob uma ação do grupo simplético é, portanto, em certo sentido, uma versão linearizada de um simplectomorfismo, que é uma transformação mais geral de preservação de estrutura em uma variedade simplética.
O grupo simplético compacto Seção 1.2.8 é a interseção de com o grupo unitário :
Às vezes ele é escrito como . Alternativamente, pode ser descrito como o subgrupo de (matrizes quaterniônicas invertíveis) que preserva a forma hermitiana padrão em :
Ou seja, é apenas o grupo unitário quaterniônico, . p. 14 De fato, ele é algumas vezes chamado de grupo hiperunitário. Além disso, Sp(1) é o grupo de quatérnios de norma , equivalente a e topologicamente uma -esfera .
Note que não é um grupo simplético no sentido da seção anterior — ele não preserva uma forma -bilinear antissimétrica não degenerada em : não existe tal forma, exceto a forma nula. Em vez disso, é isomorfo a um subgrupo de , e, desse modo, preserva uma forma simplética complexa em um espaço vetorial de dimensão dupla. Como explicado abaixo, a álgebra de Lie de é a forma real compacta da álgebra de Lie simplética complexa .
é um grupo de Lie real com dimensão (real) . É compacto e simplesmente conexo. Prop. 13.12
A álgebra de Lie de é dada pelas matrizes anti-hermitianas quaterniônicas, o conjunto de matrizes quaterniônicas que satisfazem
onde é a transposta conjugada de (aqui se usa o conjugado quaterniônico). O colchete de Lie é dado pelo comutador.
Subgrupos importantes Alguns dos subgrupos principais são:
Por outro lado, ele próprio é um subgrupo de alguns outros grupos:
Também existem os isomorfismos das álgebras de Lie e .
O grupo simplético unitário pode ser representado em termos de uma Álgebra de Clifford definida como um produto tensorial de álgebras de quatérnios chamadas de números hiperquaterniônicos. Tem-se que, . Assim, acarreta no grupo simplético compacto .
Relação entre os grupos simpléticos Toda álgebra de Lie semissimples complexa possui uma forma real cindida e uma forma real compacta; a primeira é chamada de complexificação das duas últimas.
A álgebra de Lie de é semissimples e é denotada por . Sua forma real cindida é e sua forma real compacta é . Estas correspondem aos grupos de Lie e , respectivamente.
As álgebras , que são as álgebras de Lie de , são as de assinatura indefinida equivalentes à forma compacta.
Significado físico Mecânica clássica O grupo simplético não compacto surge na física clássica como as simetrias das coordenadas canônicas que preservam o colchete de Poisson.
Considere um sistema de partículas evoluindo sob as equações de Hamilton, cuja posição no espaço de fase em um dado tempo é denotada pelo vetor de coordenadas canônicas,
Os elementos do grupo são, em certo sentido, transformações canônicas neste vetor, isto é, eles preservam a forma das equações de Hamilton. oferece uma extensa visão matemática geral da mecânica clássica. Veja o capítulo 8 para variedades simpléticas. Se
forem novas coordenadas canônicas, então, com um ponto denotando a derivada em relação ao tempo,
onde
para todo e todo no espaço de fase.
Para o caso especial de uma variedade riemanniana, as equações de Hamilton descrevem as geodésicas naquela variedade. As coordenadas habitam a variedade subjacente, e os momentos vivem no fibrado cotangente. É por isso que convencionalmente eles são escritos com índices superiores e inferiores; serve para distinguir suas localizações. O hamiltoniano correspondente consiste puramente na energia cinética: é , onde é o inverso do tensor métrico na variedade riemanniana.Jurgen Jost, (1992) Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer.Ralph Abraham e Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London Na verdade, o fibrado cotangente de qualquer variedade diferenciável pode receber uma estrutura simplética de forma canônica, com a forma simplética definida como a derivada exterior da 1-forma tautológica.
Mecânica quântica
Considere um sistema de partículas cujo estado quântico codifica a sua posição e o seu momento. Essas coordenadas são variáveis contínuas e, portanto, o espaço de Hilbert onde o estado reside é de dimensão infinita. Freqüentemente, isso torna a análise da situação complicada. Uma abordagem alternativa é considerar a evolução dos operadores de posição e momento sob a equação de Heisenberg no espaço de fase.
Construa um vetor de coordenadas canônicas,
A relação de comutação canônica pode ser expressa simplesmente como
onde
e é a matriz identidade de tamanho .
Muitas situações físicas exigem apenas hamiltonianos quadráticos, isto é, hamiltonianos da forma
onde é uma matriz simétrica real de tamanho . Isso acaba sendo uma restrição útil que nos permite reescrever a equação de Heisenberg como
A solução para esta equação deve preservar a relação de comutação canônica. Pode-se mostrar que a evolução temporal desse sistema é equivalente a uma ação do grupo simplético real, , no espaço de fase.
Ver também Mecânica hamiltoniana Grupo metaplético Grupo ortogonal Grupo paramodular Grupo unitário projetivo Representações de grupos de Lie clássicos Variedade simplética, Matriz simplética, Espaço vetorial simplético, Representação simplética Grupo unitário Θ10
Bibliografias externas
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Categoria:Grupos de Lie Categoria:Geometria simplética