Na teoria de representação de grupos de Lie e álgebras de Lie, uma representação fundamental é uma representação irredutível de dimensão finita de um grupo de Lie ou álgebra de Lie semissimples cujo peso máximo é um peso fundamental. Por exemplo, o módulo definidor de um grupo de Lie clássico é uma representação fundamental. Qualquer representação irredutível de dimensão finita de um grupo de Lie ou álgebra de Lie semissimples pode ser construída a partir das representações fundamentais através de um procedimento devido a Élie Cartan. Assim, em certo sentido, as representações fundamentais são os blocos de construção elementares para representações arbitrárias de dimensão finita.
Exemplos
No caso do grupo linear geral, todas as representações fundamentais são produtos exteriores do módulo definidor. No caso do grupo unitário especial SU(n), as n − 1 representações fundamentais são os produtos exteriores (wedge products) consistindo nos tensores alternantes, para k = 1, 2, ..., n − 1. A representação de espinores (spin) do revestimento duplo de um grupo ortogonal ímpar, o grupo de espinores ímpar, e as duas representações de meio-espinor do revestimento duplo de um grupo ortogonal par, o grupo de espinores par, são representações fundamentais que não podem ser realizadas no espaço de tensores. A representação adjunta do grupo de Lie simples do tipo E8 é uma representação fundamental.
Explicação As representações irredutíveis de um Grupo de Lie compacto simplesmente conexo são indexadas por seus pesos máximos. Esses pesos são os pontos da malha em um ortante Q+ no retículo de pesos do grupo de Lie consistindo dos pesos integrais dominantes. Pode ser demonstrado que existe um conjunto de pesos fundamentais, indexados pelos vértices do Diagrama de Dynkin, tais que qualquer peso integral dominante é uma combinação linear com coeficientes inteiros não negativos dos pesos fundamentais. Proposição 8.35 As representações irredutíveis correspondentes são as representações fundamentais do grupo de Lie. A partir da expansão de um peso dominante em termos dos pesos fundamentais, pode-se obter um produto tensorial correspondente das representações fundamentais e extrair uma cópia da representação irredutível correspondente àquele peso dominante. Veja a demonstração da Proposição 6.17 no caso do SU(3)
Outros usos Fora da teoria de Lie, o termo representação fundamental é, por vezes, utilizado de forma mais flexível para se referir a uma representação fiel de menor dimensão, embora esta também seja frequentemente chamada de representação padrão ou definidora (um termo que se refere mais à história, em vez de ter um significado matemático bem definido).
Referências
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