Na matemática, uma superfície cúbica é uma superfície no espaço tridimensional definida por uma equação polinomial de grau 3. As superfícies cúbicas são exemplos fundamentais na geometria algébrica. A teoria é simplificada ao se trabalhar no espaço projetivo em vez do espaço afim, e, portanto, as superfícies cúbicas são geralmente consideradas no espaço projetivo tridimensional . A teoria também se torna mais uniforme concentrando-se em superfícies sobre os números complexos em vez dos números reais; note que uma superfície complexa possui dimensão real 4. Um exemplo simples é a Superfície cúbica de Fermat
em . Muitas propriedades das superfícies cúbicas são válidas de forma mais geral para as superfícies de del Pezzo. direita|miniaturadaimagem|Uma superfície cúbica lisa, com suas 27 retas
Racionalidade das superfícies cúbicas Uma característica central das superfícies cúbicas lisas X sobre um corpo algebricamente fechado é que todas elas são racionais, como demonstrado por Alfred Clebsch em 1866.Reid (1988), Corolário 7.4. Isto é, existe uma correspondência biunívoca definida por funções racionais entre o plano projetivo menos um subconjunto de dimensão inferior e X menos um subconjunto de dimensão inferior. De modo mais geral, toda superfície cúbica irredutível (possivelmente singular) sobre um corpo algebricamente fechado é racional, a menos que seja o cone projetivo sobre uma curva cúbica.Kollár, Smith, Corti (2004), Exemplo 1.28. A esse respeito, as superfícies cúbicas são muito mais simples do que as superfícies lisas de grau pelo menos 4 em , que nunca são racionais. Em característica zero, superfícies lisas de grau 4 ou superior em não são sequer unirregadas.Kollár, Smith, Corti (2004), Exercício 1.59.
De forma mais contundente, Clebsch mostrou que toda superfície cúbica lisa em sobre um corpo algebricamente fechado é isomorfa à explosão (blow-up) de em 6 pontos.Dolgachev (2012), Capítulo 9, Notas históricas.
Como resultado, toda superfície cúbica lisa sobre os números complexos é difeomorfa à soma conexa , onde o sinal de menos refere-se a uma mudança de orientação. Reciprocamente, a explosão de em 6 pontos é isomorfa a uma superfície cúbica se, e somente se, os pontos estiverem em posição geral, o que significa que não há três pontos alinhados em uma mesma reta e que todos os 6 não pertencem a uma mesma cônica. Como uma variedade complexa (ou uma variedade algébrica), a superfície depende do arranjo desses 6 pontos.
27 retas em uma superfície cúbica A maioria das provas de racionalidade para superfícies cúbicas começa encontrando uma reta na superfície. (No contexto da geometria projetiva, uma reta em é isomorfa a .) Mais precisamente, Arthur Cayley e George Salmon mostraram em 1849 que toda superfície cúbica lisa sobre um corpo algebricamente fechado contém exatamente 27 retas.Reid (1988), seção 7.6. Esta é uma característica distintiva das cúbicas: uma superfície quádrica lisa (grau 2) é coberta por uma família contínua de retas, enquanto a maioria das superfícies de grau igual ou superior a 4 em não contém nenhuma reta. Outra técnica útil para encontrar as 27 retas envolve o Cálculo de Schubert, que computa o número de retas usando a teoria de interseção da Grassmanniana de retas em . direita|miniaturadaimagem|Animação das 27 retas em uma superfície cúbica À medida que os coeficientes de uma superfície cúbica complexa lisa variam, as 27 retas se movem continuamente. Como resultado, um laço fechado na família de superfícies cúbicas lisas determina uma permutação das 27 retas. O grupo de permutações das 27 retas que surge dessa maneira é chamado de grupo de monodromia da família de superfícies cúbicas. Uma descoberta notável do século XIX foi que o grupo de monodromia não é trivial nem é o grupo simétrico completo ; é um grupo de ordem 51840, agindo de forma transitiva sobre o conjunto de retas. Este grupo foi gradualmente reconhecido (por Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915–17) e Patrick du Val (1936)) como o Grupo de Weyl do tipo , um grupo gerado por reflexões em um espaço vetorial real de 6 dimensões, relacionado ao grupo de Lie de dimensão 78.
O mesmo grupo de ordem 51840 pode ser descrito em termos combinatórios, como o grupo de automorfismos do grafo das 27 retas, com um vértice para cada reta e uma aresta sempre que duas retas se encontram.Hartshorne (1997), Exercício V.4.11. Esse grafo foi analisado no século XIX usando subgrafos, como a configuração de Seis duplo de Schläfli. O grafo complementar (com uma aresta sempre que duas retas são disjuntas) é conhecido como o Grafo de Schläfli. direita|miniaturadaimagem|O grafo de Schläfli Muitos problemas sobre superfícies cúbicas podem ser resolvidos usando a combinatória do sistema de raízes . Por exemplo, as 27 retas podem ser identificadas com os pesos da representação fundamental do grupo de Lie Os conjuntos possíveis de singularidades que podem ocorrer em uma superfície cúbica podem ser descritos em termos de subsistemas do sistema de raízes .Bruce & Wall (1979), seção 4; Dolgachev (2012), Tabela 9.1. Uma explicação para esta conexão é que o reticulado surge como o complemento ortogonal à classe anticanônica no Grupo de Picard , com a sua forma de interseção (proveniente da teoria da interseção de curvas em uma superfície). Para uma superfície cúbica complexa lisa, o reticulado de Picard também pode ser identificado com o grupo de coomologia .
Um ponto de Eckardt é um ponto onde 3 das 27 retas se encontram. A maioria das superfícies cúbicas não possui pontos de Eckardt, mas esses pontos ocorrem num subconjunto de codimensão 1 da família de todas as superfícies cúbicas lisas.Dolgachev (2012), seção 9.1.4.
Dada uma identificação entre uma superfície cúbica X e a explosão de em 6 pontos em posição geral, as 27 retas em X podem ser vistas como: as 6 curvas excepcionais criadas pela explosão, as transformadas birracionais das 15 retas que passam por pares dos 6 pontos em , e as transformadas birracionais das 6 cônicas que contêm todos, exceto um, dos 6 pontos.Hartshorne (1997), Teorema V.4.9. Uma dada superfície cúbica pode ser vista como uma explosão de de mais de uma maneira (na verdade, de 72 maneiras diferentes), e, portanto, uma descrição como uma explosão não revela a simetria entre todas as 27 retas.
A relação entre superfícies cúbicas e o sistema de raízes generaliza-se para uma relação entre todas as superfícies de del Pezzo e os sistemas de raízes. Esta é uma das muitas classificações ADE na matemática. Seguindo essas analogias, Vera Serganova e Alexei Skorobogatov forneceram uma relação geométrica direta entre superfícies cúbicas e o grupo de Lie .Serganova & Skorobogatov (2007).
Na física, as 27 retas podem ser identificadas com as 27 cargas possíveis da Teoria M num toro de seis dimensões (6 momentos; 15 membranas; 6 cinco-branas) e o grupo E6 age naturalmente como o grupo de dualidade U. Este mapeamento entre as superfícies de del Pezzo e a Teoria M sobre toros é conhecido como a dualidade misteriosa.
Superfícies cúbicas especiais A superfície cúbica complexa lisa em com o maior grupo de automorfismos é a superfície cúbica de Fermat, definida por
Seu grupo de automorfismos é uma extensão , de ordem 648.Dolgachev (2012), Tabela 9.6.
A próxima superfície cúbica lisa mais simétrica é a Superfície de Clebsch, que pode ser definida em pelas duas equações
Seu grupo de automorfismos é o grupo simétrico , de ordem 120. Após uma mudança linear complexa de coordenadas, a superfície de Clebsch também pode ser definida pela equação
em . direita|miniaturadaimagem|A superfície cúbica nodal de Cayley Entre as superfícies cúbicas complexas singulares, a Superfície cúbica nodal de Cayley é a única superfície com o número máximo de nós, que são 4:
Seu grupo de automorfismos é , de ordem 24.
Superfícies cúbicas reais Ao contrário do caso complexo, o espaço das superfícies cúbicas lisas sobre os números reais não é conexo na topologia clássica (baseada na topologia de R). Suas componentes conexas (em outras palavras, a classificação das superfícies cúbicas reais lisas a menos de isotopia) foram determinadas por Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) e H. G. Zeuthen (1875).Degtyarev e Kharlamov (2000), seção 3.5.2. Os vários tipos de superfícies cúbicas reais e as retas sobre elas são ilustrados em Holzer & Labs (2006). Existem 5 classes de isotopia de superfícies cúbicas reais lisas X em , distinguidas pela topologia do espaço dos pontos reais . O espaço de pontos reais é difeomorfo a , ou à união disjunta de e a 2-esfera, onde denota a soma conexa de r cópias do plano projetivo real . Nestes cinco casos, o número de retas reais contidas em X é 27, 15, 7, 3 ou 3, respectivamente.
Uma superfície cúbica real lisa é racional sobre R se, e somente se, seu espaço de pontos reais for conexo, ocorrendo isso, portanto, nos primeiros quatro dos cinco casos anteriores.Silhol (1989), seção VI.5.
O número médio de retas reais em X é quando o polinômio definidor de X é amostrado aleatoriamente do conjunto Gaussiano induzido pelo produto interno de Bombieri.
Espaços de moduli de superfícies cúbicas Duas superfícies cúbicas lisas são isomorfas como variedades algébricas se, e somente se, forem equivalentes por algum automorfismo linear de . A Teoria dos invariantes geométricos (GIT) fornece um espaço de moduli de superfícies cúbicas lisas, com um ponto para cada classe de isomorfismo de superfícies cúbicas lisas. Este espaço de moduli tem dimensão 4. Mais precisamente, é um subconjunto aberto do espaço projetivo com pesos , por Salmon e Clebsch (1860). Em particular, é uma 4-variedade racional.Dolgachev (2012), equação (9.57). Este espaço de moduli pode ser compactificado no próprio usando o quociente GIT de todas as formas cúbicas poli-estáveis em 4 variáveis. Os pontos adicionais representam superfícies cúbicas com nós (singularidades de Du Val do tipo ) ou a única superfície cúbica com três singularidades . S. Mukai (2003), Seção 7.2(c). Em particular, esta compactificação é isomorfa ao espaço de K-moduli de superfícies cúbicas. Odaka, Spotti & Sun (2016)
Outras compactificações dos moduli foram consideradas. Ao atribuir uma marcação a uma superfície $S$, suas curvas (-1) recebem uma rotulagem, permitindo tomar a união de todas as curvas (-1) e perguntar quando um par é estável no sentido de KSBA. Hacking, Keel e Tevelev estudaram essa compactificação para superfícies cúbicas e outras superfícies de del Pezzo. Hacking, Keel & Tevelev (2009).
Uma abordagem diferente considera pares onde é uma superfície cúbica e é um divisor anticanônico. Por meio da GIT, pode-se fornecer 11 compactificações não-isomorfas desses pares.Gallardo & Martinez-Garcia (2019). Essas compactificações são isomorfas ao K-moduli desses log pares, analogamente ao caso de superfícies.Gallardo, Martinez-Garcia & Spotti (2021)Martinez-Garcia, Papazachariou & Zhao (2024)
O cone de curvas As retas em uma superfície cúbica X sobre um corpo algebricamente fechado podem ser descritas intrinsecamente, sem referência ao mergulho de X em : elas são exatamente as curvas (-1) em X, significando as curvas isomorfas a que possuem auto-interseção −1. Além disso, as classes de retas no reticulado de Picard de X (ou equivalentemente, o grupo de classes de divisores) são exatamente os elementos u de Pic(X) tais que e . (Isto utiliza o fato de que a restrição do fibrado de linhas hiperplano O(1) em para X é o fibrado de linhas anticanônico , pela fórmula de adjunção.)