Na matemática, o grupo de automorfismos externos de um grupo, , é o quociente, , onde é o grupo de automorfismos de e é o subgrupo que consiste nos automorfismos internos. O grupo de automorfismos externos é geralmente denotado por . Se é trivial e possui um centro trivial, então diz-se que é um grupo completo.

Um automorfismo de um grupo que não é interno é chamado de automorfismo externo.Apesar do nome, estes não formam os elementos do grupo de automorfismos externos. Por esta razão, o termo automorfismo não-interno às vezes é preferido. As classes laterais (cosets) de em relação aos automorfismos externos são, portanto, os elementos de ; este é um exemplo do fato de que quocientes de grupos não são, em geral, (isomorfos a) subgrupos. Se o grupo de automorfismos internos for trivial (como quando um grupo é abeliano), o grupo de automorfismos e o grupo de automorfismos externos são naturalmente identificados; isto é, o grupo de automorfismos externos age diretamente sobre o grupo.

Por exemplo, para o grupo alternante, , o grupo de automorfismos externos é geralmente o grupo de ordem 2, com exceções observadas abaixo. Considerando como um subgrupo do grupo simétrico, , a conjugação por qualquer permutação ímpar é um automorfismo externo de ou, mais precisamente, "representa a classe do automorfismo externo (não trivial) de ", mas o automorfismo externo não corresponde à conjugação por nenhum elemento ímpar em particular, e todas as conjugações por elementos ímpares são equivalentes a menos de conjugação por um elemento par.

Estrutura A Conjectura de Schreier afirma que é sempre um grupo solúvel quando é um grupo simples finito. Este resultado é agora sabido como verdadeiro, sendo um corolário da classificação dos grupos simples finitos, embora nenhuma demonstração mais simples seja conhecida.

Como dual do centro O grupo de automorfismos externos é o dual do centro no seguinte sentido: a conjugação por um elemento de é um automorfismo, produzindo uma aplicação . O núcleo da aplicação de conjugação é o centro, enquanto o conúcleo é o grupo de automorfismos externos (e a imagem é o grupo de automorfismos internos). Isso pode ser resumido pela sequência exata:

Aplicações O grupo de automorfismos externos de um grupo age nas classes de conjugação e, de forma correspondente, na tabela de caracteres.

Topologia de superfícies O grupo de automorfismos externos é importante na topologia de superfícies porque existe uma conexão fornecida pelo Teorema de Dehn-Nielsen: o grupo de classes de mapeamento (mapping class group) estendido da superfície é o grupo de automorfismos externos do seu grupo fundamental.

Em grupos finitos Para os grupos de automorfismos externos de todos os grupos simples finitos, veja a Lista de grupos simples finitos. Grupos simples esporádicos e grupos alternantes (com exceção do grupo alternante, ; veja abaixo) têm todos grupos de automorfismos externos de ordem 1 ou 2. O grupo de automorfismos externos de um grupo de tipo Lie simples e finito é uma extensão de um grupo de "automorfismos diagonais" (cíclico, exceto para , quando tem ordem 4), um grupo de "automorfismos de corpo" (sempre cíclico) e um grupo de "automorfismos de grafo" (de ordem 1 ou 2, exceto para , quando é o grupo simétrico em 3 pontos). Nem sempre essas extensões são produtos semidiretos, como mostra o caso do grupo alternante ; um critério preciso para que isso ocorra foi fornecido em 2003.A. Lucchini, F. Menegazzo, M. Morigi (2003), "On the existence of a complement for a finite simple group in its automorphism group", Illinois J. Math. 47, 395–418. GrupoParâmetro2: a identidade e o automorfismo externo = ; correspondendo à multiplicação por um elemento invertível no anel . primo, 1  (veja abaixo)22  (veja abaixo)4 primo2 =  12121

Em grupos simétricos e alternantes

O grupo de automorfismos externos de um grupo simples finito em alguma família infinita de grupos simples finitos quase sempre pode ser dado por uma fórmula uniforme que funciona para todos os elementos da família. Há apenas uma exceção a isso:ATLAS p. xvi o grupo alternante possui um grupo de automorfismos externos de ordem 4, em vez de 2 como acontece com os demais grupos alternantes simples (dado pela conjugação por uma permutação ímpar). Equivalentemente, o grupo simétrico é o único grupo simétrico com um grupo de automorfismos externos não trivial.

Note que, no caso de , a sequência não cinde (não se desdobra em um produto semidireto). Um resultado semelhante é válido para qualquer , com ímpar.

Em grupos algébricos redutivos miniaturadaimagem|148x148px|As simetrias do diagrama de Dynkin, , correspondem aos automorfismos externos de na trialidade. Seja agora um grupo redutivo conexo sobre um corpo algebricamente fechado. Então, quaisquer dois subgrupos de Borel são conjugados por um automorfismo interno, logo, para estudar automorfismos externos, basta considerar automorfismos que fixam um dado subgrupo de Borel. Associado ao subgrupo de Borel está um conjunto de raízes simples, e o automorfismo externo pode permutá-las, enquanto preserva a estrutura do Diagrama de Dynkin associado. Desta forma, pode-se identificar o grupo de automorfismos do diagrama de Dynkin de com um subgrupo de .

possui um diagrama de Dynkin altamente simétrico, o que produz um grupo de automorfismos externos grande para o , especificamente ; isso é chamado de trialidade.

Em álgebras de Lie simples reais e complexas A interpretação anterior de automorfismos externos como simetrias de um diagrama de Dynkin segue do fato geral de que, para uma álgebra de Lie simples real ou complexa, , o grupo de automorfismos é um produto semidireto de e ; ou seja, a sequência exata curta

cinde. No caso simples complexo, este é um resultado clássico, enquanto que, para álgebras de Lie simples reais, esse fato foi provado apenas em 2010.JLT20035

Jogos de palavras O termo em inglês para automorfismo externo (outer automorphism) presta-se a certos jogos de palavras: o termo outermorphism às vezes é usado como abreviação para automorfismo externo, e uma geometria particular na qual o grupo age é chamada de outer space (que em inglês também significa "espaço sideral").

Ver também

Grupo de classes de mapeamento

Ligações externas

ATLAS of Finite Group Representations-V3, contém muitas informações sobre várias classes de grupos finitos (em particular grupos simples esporádicos), incluindo a ordem de para cada grupo listado.