miniaturadaimagem|Andrew John Wiles A demonstração de Wiles do Último Teorema de Fermat é uma demonstração do matemático britânico Andrew Wiles de um caso especial do teorema da modularidade para curvas elípticas. Juntamente com o teorema de Ribet, ela fornece uma prova para o Último Teorema de Fermat. Na época, quase todos os matemáticos acreditavam que tanto o Último Teorema de Fermat quanto o teorema da modularidade eram impossíveis de provar utilizando o conhecimento existente.Fermat's Last Theorem, Simon Singh, 1997,

Wiles anunciou sua demonstração pela primeira vez em 23 de junho de 1993, numa palestra na Cambridge intitulada "Formas Modulares, Curvas Elípticas e Representações de Galois". No entanto, em setembro de 1993, descobriu-se que a demonstração continha um erro. Um ano depois, em 19 de setembro de 1994, no que ele chamaria de "o momento mais importante da [sua] vida profissional", Wiles teve uma revelação que lhe permitiu corrigir a demonstração para a satisfação da comunidade matemática. A demonstração corrigida foi publicada em 1995 no periódico Annals of Mathematics na forma de dois artigos, um de autoria de Wiles e o outro em coautoria de Wiles e Richard Taylor. Juntos, os dois artigos têm 129 páginas e consumiram mais de sete anos de dedicação à pesquisa por parte de Wiles.

A demonstração utiliza muitas técnicas de geometria algébrica e teoria dos números, e possui diversas ramificações nestes ramos da matemática. Ela também utiliza construções padrão da geometria algébrica moderna, como a categoria dos esquemas, ideias significativas de teoria dos números da teoria de Iwasawa, e outras técnicas do século XX que não estavam disponíveis para Fermat. O método da demonstração de identificação de um anel de deformação com uma álgebra de Hecke (agora conhecido como um teorema R=T) para provar os teoremas de levantamento de modularidade tem sido um desenvolvimento influente na teoria algébrica dos números.

John H. Coates descreveu a demonstração como uma das maiores conquistas da teoria dos números, e John Conway chamou-a de "a demonstração do século [XX]". Por provar o Último Teorema de Fermat, Wiles foi condecorado como cavaleiro (knighted) e recebeu outras honrarias, como o Prêmio Abel de 2016. Ao anunciar que Wiles havia ganhado o Prêmio Abel, a Academia Norueguesa de Literatura e Ciências descreveu sua conquista como uma "demonstração impressionante".

Precursores da demonstração de Wiles

O Último Teorema de Fermat e o progresso antes de 1980

O Último Teorema de Fermat, formulado em 1637, afirma que não existem três números inteiros positivos , , e que possam satisfazer a equação

se for um número inteiro maior que dois ().

Com o tempo, essa afirmação simples tornou-se uma das mais famosas alegações não provadas da matemática. Entre sua publicação e a solução definitiva por Andrew Wiles mais de 350 anos depois, muitos matemáticos e amadores tentaram provar esta afirmação, seja para todos os valores de , ou para casos específicos. Isso impulsionou o desenvolvimento de áreas inteiramente novas dentro da teoria dos números. Eventualmente, demonstrações foram encontradas para todos os valores de até cerca de 4 milhões, primeiro à mão e, mais tarde, por computador. Contudo, não foi encontrada nenhuma demonstração geral que fosse válida para todos os valores possíveis de , nem mesmo uma dica de como tal demonstração poderia ser empreendida.

A conjectura de Taniyama–Shimura–Weil

De forma independente de qualquer coisa relacionada ao Último Teorema de Fermat, nas décadas de 1950 e 1960, o matemático japonês Goro Shimura, baseando-se em ideias apresentadas por Yutaka Taniyama, conjecturou que pudesse existir uma conexão entre curvas elípticas e formas modulares. Estes eram objetos matemáticos sem nenhuma ligação conhecida entre si. Taniyama e Shimura levantaram a questão de se, sem o conhecimento dos matemáticos, os dois tipos de objetos eram, na verdade, objetos matemáticos idênticos, vistos apenas de maneiras diferentes.

Eles conjecturaram que toda curva elíptica racional é também modular. Isso ficou conhecido como a conjectura de Taniyama–Shimura. No Ocidente, esta conjectura tornou-se bastante conhecida através de um artigo de 1967 de André Weil, que forneceu evidências conceituais para ela; por isso, às vezes é chamada de conjectura de Taniyama–Shimura–Weil.

Por volta de 1980, muitas evidências já tinham sido acumuladas para formar conjecturas sobre curvas elípticas, e muitos artigos haviam sido escritos examinando as consequências caso a conjectura fosse verdadeira, mas a conjectura em si não estava provada e era geralmente considerada inacessível — o que significa que os matemáticos acreditavam que uma demonstração da conjectura era provavelmente impossível usando o conhecimento atual.

Por décadas, a conjectura permaneceu um problema importante, mas não resolvido na matemática. Cerca de 50 anos depois de ter sido proposta pela primeira vez, a conjectura foi finalmente provada e renomeada para teorema da modularidade, em grande parte como resultado do trabalho de Andrew Wiles descrito abaixo.

Curva de Frey Em um outro ramo de desenvolvimento separado, no final da década de 1960, Yves Hellegouarch teve a ideia de associar soluções hipotéticas da equação de Fermat com um objeto matemático completamente diferente: uma curva elíptica. A curva consiste em todos os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a relação

Tal curva elíptica desfrutaria de propriedades muito especiais devido à aparição de altas potências de inteiros em sua equação e ao fato de que seria uma -ésima potência também.

Entre 1982 e 1985, Gerhard Frey chamou atenção para as propriedades inusitadas dessa mesma curva, agora chamada de curva de Frey. Ele mostrou que era provável que a curva pudesse ligar Fermat e Taniyama–Shimura–Weil, visto que qualquer contraexemplo ao Último Teorema de Fermat provavelmente também implicaria que existia uma curva elíptica que não era modular. Frey mostrou que havia boas razões para acreditar que qualquer conjunto de números capaz de refutar o Último Teorema de Fermat também poderia, provavelmente, ser usado para refutar a conjectura de Taniyama–Shimura–Weil. Portanto, se a conjectura de Taniyama–Shimura–Weil fosse verdadeira, nenhum conjunto de números capaz de refutar Fermat poderia existir, de modo que o Último Teorema de Fermat teria que ser verdadeiro também.

A conjectura diz que cada curva elíptica com coeficientes racionais pode ser construída de uma maneira inteiramente diferente, não dando sua equação, mas usando funções modulares para parametrizar as coordenadas e dos pontos nela. Assim, de acordo com a conjectura, qualquer curva elíptica sobre teria que ser uma curva elíptica modular; porém, se uma solução para a equação de Fermat com , , não nulos e maior que 2 existisse, a curva correspondente não seria modular, resultando em uma contradição. Se a ligação identificada por Frey pudesse ser provada, isso significaria, por sua vez, que refutar o Último Teorema de Fermat refutaria a conjectura de Taniyama–Shimura–Weil, ou por contraposição, uma prova desta última provaria também a primeira.Singh, pp. 194–198; Aczel, pp. 109–114.

Teorema de Ribet

Para completar essa ligação, era necessário mostrar que a intuição de Frey estava correta: que uma curva de Frey, se existisse, não poderia ser modular. Em 1985, Jean-Pierre Serre forneceu uma demonstração parcial de que uma curva de Frey não poderia ser modular. Serre não apresentou uma prova completa de sua proposta; a parte faltante (que Serre já havia notado no inícioG. Cornell, J. H. Silverman e G. Stevens, Modular forms and Fermat's Last Theorem, ) ficou conhecida como a conjectura epsilon (agora conhecida como teorema de Ribet). O interesse principal de Serre era em uma conjectura ainda mais ambiciosa, a conjectura de Serre sobre representações de Galois modulares, o que implicaria a conjectura de Taniyama–Shimura–Weil. Contudo, sua prova parcial chegou perto de confirmar a ligação entre Fermat e Taniyama.

No verão de 1986, Ken Ribet conseguiu provar a conjectura epsilon, hoje conhecida como teorema de Ribet. Seu artigo foi publicado em 1990. Ao fazer isso, Ribet finalmente provou a ligação entre os dois teoremas ao confirmar, como Frey sugerira, que uma demonstração da conjectura de Taniyama–Shimura–Weil para os tipos de curvas elípticas que Frey havia identificado, juntamente com o teorema de Ribet, também provaria o Último Teorema de Fermat.

Em termos matemáticos, o teorema de Ribet mostrou que se a representação de Galois associada a uma curva elíptica possui certas propriedades (que a curva de Frey tem), então essa curva não pode ser modular, no sentido de que não pode existir uma forma modular que dê origem à mesma representação de Galois.

Situação anterior à demonstração de Wiles Após os desenvolvimentos relacionados à curva de Frey, e sua ligação tanto a Fermat quanto a Taniyama, uma prova do Último Teorema de Fermat decorreria de uma prova da conjectura de Taniyama–Shimura–Weil — ou pelo menos de uma prova da conjectura para os tipos de curvas elípticas que incluíam a equação de Frey (conhecidas como curvas elípticas semiestáveis).

Pelo teorema de Ribet e pela curva de Frey, quaisquer 4 números capazes de ser usados para refutar o Último Teorema de Fermat poderiam também ser usados para criar uma curva elíptica semiestável ("curva de Frey") que jamais poderia ser modular; Mas se a conjectura de Taniyama–Shimura–Weil também fosse verdadeira para curvas elípticas semiestáveis, então, por definição, toda curva de Frey que existisse deveria ser modular. A contradição só poderia ter uma resposta: se o teorema de Ribet e a conjectura de Taniyama–Shimura–Weil para curvas semiestáveis fossem ambos verdadeiros, então isso significaria que não poderia haver nenhuma solução para a equação de Fermat — porque então não existiria nenhuma curva de Frey, o que significa que não existiriam contradições. Isso finalmente provaria o Último Teorema de Fermat.

Entretanto, apesar do progresso alcançado por Serre e Ribet, essa abordagem ao teorema de Fermat também foi amplamente considerada inutilizável, uma vez que quase todos os matemáticos viam a própria conjectura de Taniyama–Shimura–Weil como completamente inacessível à demonstração com o conhecimento da época. Por exemplo, o ex-orientador de Wiles, John H. Coates, declarou que parecia "impossível de realmente provar", e Ken Ribet considerava-se "uma da grande maioria das pessoas que acreditavam que [ela] era completamente inacessível".

Andrew Wiles Ao ouvir falar da demonstração de Ribet da conjectura epsilon em 1986, o matemático inglês Andrew Wiles, que estudara curvas elípticas e tinha um fascínio de infância por Fermat, decidiu começar a trabalhar em segredo rumo a uma prova da conjectura de Taniyama–Shimura–Weil, já que isso agora era justificável profissionalmente, além de representar o objetivo tentador de provar um problema de tão longa data.

Ribet comentou mais tarde que "Andrew Wiles foi provavelmente uma das poucas pessoas na terra a ter a audácia de sonhar que seria possível realmente ir lá e provar [isso]."

Anúncio e desenvolvimentos subsequentes Wiles apresentou inicialmente sua demonstração em 1993. Ela foi finalmente aceita como correta, e publicada em 1995, após a correção de um erro sutil em uma parte de seu artigo original. Seu trabalho foi expandido para uma demonstração completa do teorema da modularidade ao longo dos seis anos seguintes por outros matemáticos, que se basearam no trabalho de Wiles.

Anúncio e demonstração final (1993–1995) Entre 21 e 23 de junho de 1993, Wiles anunciou e apresentou sua demonstração da conjectura de Taniyama–Shimura para curvas elípticas semiestáveis, e, portanto, do Último Teorema de Fermat, ao longo de três palestras proferidas no Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences em Cambridge, Inglaterra. Houve uma grande cobertura da imprensa em seguida.