Em matemática, especificamente em teoria da medida, o teorema de decomposição de Jordan afirma que toda medida com sinal pode ser descrita como a diferença de duas medidas. Consequentemente, vários resultados que se aplicam a medidas podem ser facilmente extendidos para se aplicarem a medidas com sinal. A existência da decomposição de Jordan é uma consequência direta da existência da decomposição de Hahn.
Definições Seja um conjunto qualquer e seu conjunto das partes. Seja uma -álgebra. Uma medida é finita se , para todo , ou equivalentemente se . Dizemos que duas medidas são mutualmente singulares, e denotamos , caso existam que particionam tais que é identicamente nula em e é identicamente nula em .
Enunciado O teorema consiste da seguinte afirmação: Dada uma medida com sinal , existem únicas medidas e tais que
Além disso, ao menos uma dessas medidas é finita.
Demonstração Pelo teorema de decomposição de Hahn, deve ser limitada inferiormente ou superiormente. Suponha, sem perda de generalidade, que é limitada inferiormente. Também pelo teorema de decomposição de Hahn existem que particionam tais que para cada temos e para cada temos .
Definimos então pelas fórmulas e , para todo . Segue imediatamente da definição que , portanto . Além disso, como é identicamente nulo em e é identicamente nulo em , temos . Por fim, como é inferiormente limitada, deve ser superiormente limitada, portanto finita.
Suponha agora que as medidas satisfazem e . Então devem existir que formam uma decomposição de Hahn de . Pelo teorema de decomposição de Hahn, é identicamente nula nos subconjuntos de , a diferença simétrica entre e . Portanto nos subconjuntos de . Como , temos que é identicamente nula em e é identicamente nula em , e concluímos que são identicamente nulas nos subconjuntos de . Similarmente, devem ser identicamente nulas nos subconjuntos de . Portanto o suporte de está limitado aos subconjuntos de . Mas são identicamente nulas nesses conjuntos, portanto no suporte de , e consequentemente sempre. De forma similar concluímos que . Ou seja, são as únicas medidas que satisfazem as condições do teorema.
Isso conclui a prova.
Referências
Categoria:Teoria da medida