Na matemática, mais especificamente na teoria de corpos, o grau de uma extensão de corpos é uma medida aproximada do "tamanho" da extensão de corpos. O conceito desempenha um papel importante em muitas partes da matemática, incluindo a álgebra e a teoria dos números — de fato, em qualquer área onde os corpos apareçam com destaque.

Definição e notação Suponha que seja uma extensão de corpos. Então pode ser considerado como um espaço vetorial sobre (o corpo de escalares). A dimensão deste espaço vetorial é chamada de grau da extensão de corpos, e é denotada por .

O grau pode ser finito ou infinito, sendo o corpo chamado de extensão finita ou extensão infinita, de acordo com o caso. Uma extensão também é por vezes dita simplesmente finita se for uma extensão finita; isso não deve ser confundido com os próprios corpos serem corpos finitos (corpos com um número finito de elementos).

O grau não deve ser confundido com o grau de transcendência de um corpo; por exemplo, o corpo de funções racionais tem grau infinito sobre , mas grau de transcendência igual a apenas .

A fórmula da multiplicatividade para graus Dados três corpos dispostos em uma torre, digamos um subcorpo de que por sua vez é um subcorpo de , existe uma relação simples entre os graus das três extensões , e :

Em outras palavras, o grau indo do corpo "inferior" para o "superior" é simplesmente o produto dos graus indo do "inferior" para o "médio" e então do "médio" para o "superior". É bastante análogo ao teorema de Lagrange na teoria dos grupos, que relaciona a ordem de um grupo com a ordem e o índice de um subgrupo — de fato, a teoria de Galois mostra que essa analogia é mais do que apenas uma coincidência.

A fórmula é válida para extensões de grau tanto finito quanto infinito. No caso infinito, o produto é interpretado no sentido de produtos de números cardinais. Em particular, isso significa que se é finito, então tanto quanto são finitos.

Se é finito, então a fórmula impõe fortes restrições aos tipos de corpos que podem ocorrer entre e , através de considerações aritméticas simples. Por exemplo, se o grau é um número primo , então para qualquer corpo intermediário , uma de duas coisas pode acontecer: ou e , caso em que é igual a , ou e , caso em que é igual a . Portanto, não há corpos intermediários (além dos próprios e ).

Prova da fórmula da multiplicatividade no caso finito Suponha que , e formem uma torre de corpos como na fórmula de grau acima, e que tanto quanto sejam finitos. Isso significa que podemos selecionar uma base para sobre , e uma base para sobre . Mostraremos que os elementos , para variando de e variando de , formam uma base para ; como existem precisamente deles, isso prova que a dimensão de é , que é o resultado desejado.

Primeiro verificamos que eles geram . Se for qualquer elemento de , então, como os formam uma base para sobre , podemos encontrar elementos em tais que:

Então, como os formam uma base para sobre , podemos encontrar elementos em tais que, para cada :

Então, usando a distributividade e a associatividade da multiplicação em , temos:

o que mostra que é uma combinação linear dos com coeficientes em ; em outras palavras, eles geram sobre .

Em segundo lugar, devemos verificar se eles são linearmente independentes sobre . Portanto, assuma que:

para alguns coeficientes em . Usando distributividade e associatividade novamente, podemos agrupar os termos como:

e vemos que os termos entre parênteses devem ser zero, porque eles são elementos de , e os são linearmente independentes sobre . Isto é,

para cada . Então, como os coeficientes estão em , e os são linearmente independentes sobre , devemos ter que para todo e todo . Isso mostra que os elementos são linearmente independentes sobre . Isso conclui a prova.

Prova da fórmula no caso infinito Neste caso, começamos com bases e de e respectivamente, onde é tomado de um conjunto de índices , e de um conjunto de índices . Usando um argumento inteiramente semelhante ao anterior, descobrimos que os produtos formam uma base para . Estes são indexados pelo produto cartesiano , que por definição tem cardinalidade igual ao produto das cardinalidades de e .

Exemplos

Os números complexos são uma extensão de corpos sobre os números reais com grau , e portanto não há corpos não triviais entre eles. A extensão de corpos , obtida anexando e ao corpo de números racionais, tem grau , ou seja, . O corpo intermediário tem grau sobre ; concluímos da fórmula da multiplicatividade que . O corpo finito (ou corpo de Galois) tem grau sobre o seu subcorpo . De forma mais geral, se é um primo e , são inteiros positivos com dividindo , então . A extensão de corpos , onde é o corpo de funções racionais sobre , tem grau infinito (de fato, é uma extensão puramente transcendente). Isto pode ser visto observando que os elementos , etc., são linearmente independentes sobre . A extensão de corpos também tem grau infinito sobre . No entanto, se vermos como um subcorpo de , então, de fato, . De modo mais geral, se e são curvas algébricas sobre um corpo , e é um morfismo sobrejetivo entre elas de grau , então os corpos de funções e são ambos de grau infinito sobre , mas o grau acaba sendo igual a .

Generalização Dados dois anéis de divisão e com contido em e a multiplicação e adição de sendo a restrição das operações em , podemos considerar como um espaço vetorial sobre de duas maneiras: fazendo com que os escalares atuem à esquerda, dando uma dimensão , e fazendo com que atuem à direita, dando uma dimensão . As duas dimensões não precisam concordar. Ambas as dimensões, no entanto, satisfazem uma fórmula de multiplicação para torres de anéis de divisão; a prova acima se aplica a escalares que atuam à esquerda sem alteração.

Referências

página 215, Prova da fórmula da multiplicatividade. página 465, Discute brevemente o caso de dimensão infinita.