Na matemática, um espaço sóbrio é um espaço topológico tal que todo subconjunto fechado irredutível (não vazio) de é o fecho de exatamente um ponto de : ou seja, todo subconjunto fechado irredutível não vazio tem um único ponto genérico.
Definições Os espaços sóbrios têm uma variedade de definições criptomórficas, que estão documentadas nesta seção. Em cada caso abaixo, substituir "único" por "no máximo um" fornece uma formulação equivalente do axioma . Substituí-lo por "pelo menos um" é equivalente à propriedade de que o quociente do espaço é sóbrio, o que às vezes é referido na literatura como ter "pontos suficientes".
Com conjuntos fechados irredutíveis Um conjunto fechado é irredutível se não puder ser escrito como a união de dois subconjuntos fechados próprios. Um espaço é sóbrio se todo subconjunto fechado irredutível não vazio for o fecho de um único ponto.
Em termos de morfismos de frames e locales Um espaço topológico é sóbrio se todo mapeamento do seu conjunto parcialmente ordenado de subconjuntos abertos para que preserva todos os supremos (joins) e todos os ínfimos finitos (meets) for a imagem inversa de uma única função contínua do espaço de um ponto para .
Isso pode ser visto como uma correspondência entre a noção de um ponto em um locale e um ponto em um espaço topológico, que é a definição motivadora.
Usando filtros completamente primos Um filtro de conjuntos abertos é dito ser completamente primo se para qualquer família de conjuntos abertos tal que , tivermos que para algum . Um espaço é sóbrio se cada filtro completamente primo for o filtro de vizinhanças de um único ponto em .
Em termos de redes Uma rede é autoconvergente se convergir para cada ponto em , ou equivalentemente se o seu filtro de eventualidades for completamente primo. Uma rede que converge para converge fortemente se puder convergir apenas para pontos no fecho de . Um espaço é sóbrio se toda rede autoconvergente converge fortemente para um único ponto .
Em particular, um espaço é e sóbrio precisamente se toda rede autoconvergente for constante.
Como uma propriedade de feixes no espaço Um espaço é sóbrio se todo functor da categoria de feixes para que preserva todos os limites finitos e todos os colimites pequenos deve ser o functor talo (stalk) de um único ponto .
Propriedades e exemplos Qualquer espaço de Hausdorff () é sóbrio (sendo os conjuntos unitários os únicos subconjuntos irredutíveis), e todos os espaços sóbrios são de Kolmogorov (), e ambas as implicações são estritas.
A sobriedade não é comparável à condição :
um exemplo de um espaço que não é sóbrio é um conjunto infinito com a topologia cofinita, sendo o espaço inteiro um subconjunto fechado irredutível sem nenhum ponto genérico; um exemplo de um espaço sóbrio que não é é o Espaço de Sierpinski.
Além disso, é estritamente mais forte que e sóbrio, ou seja, enquanto todo espaço é ao mesmo tempo e sóbrio, existem espaços que são simultaneamente e sóbrios, mas não . Um de tais exemplos é o seguinte: seja o conjunto dos números reais, com um novo ponto adjunto; sendo os conjuntos abertos todos os conjuntos abertos reais, e todos os conjuntos cofinitos contendo .
A sobriedade de é precisamente uma condição que força o reticulado de subconjuntos abertos de a determinar a menos de homeomorfismo, o que é relevante para a topologia sem pontos.
A sobriedade faz com que a pré-ordem de especialização seja uma ordem parcial direcionada completa (dcpo).
Todo conjunto parcialmente ordenado direcionado completo contínuo equipado com a Topologia de Scott é sóbrio.
Espaços finitos são sóbrios.
O espectro primo de um anel comutativo com a Topologia de Zariski é um espaço sóbrio compacto. Na verdade, todo espaço espectral (isto é, um espaço sóbrio compacto para o qual a coleção de subconjuntos abertos compactos é fechada sob interseções finitas e forma uma base para a topologia) é homeomorfo a para algum anel comutativo . Este é um teorema de Melvin Hochster. Mais genericamente, o espaço topológico subjacente a qualquer esquema é um espaço sóbrio.
O subconjunto de consistindo apenas nos ideais maximais, onde é um anel comutativo, geralmente não é sóbrio.
Ver também
Dualidade de Stone, sobre a dualidade entre espaços topológicos que são sóbrios e frames (ou seja, álgebras de Heyting completas) que são espaciais.
Referências
Bibliografia