O espaço universal de Urysohn é um certo espaço métrico que contém todos os espaços métricos separáveis de uma maneira particularmente agradável. Este conceito da matemática é devido a Pavel Urysohn, que apresentou uma construção explícita. Outra construção foi subsequentemente desenvolvida por Felix Hausdorff e uma noção mais geral foi discutida por Miroslav Katětov.Miroslav Hušek, Urysohn universal space, its development and Hausdorff's approach, Topology and its Applications, Volume 155, Issue 14, 2008, Pages 1493-1501 doi:10.1016/j.topol.2008.03.020
Definição
Um espaço métrico é chamado de universal de Urysohn se for separável e completo e possuir a seguinte propriedade: dado qualquer espaço métrico finito , qualquer ponto em , e qualquer mergulho isométrico , existe um mergulho isométrico que estende , ou seja, tal que para todo em .
Propriedades Se é universal de Urysohn e é qualquer espaço métrico separável, então existe um mergulho isométrico . (Outros espaços compartilham esta propriedade: por exemplo, o espaço de todas as sequências reais limitadas com a norma do supremo admite mergulhos isométricos de todos os espaços métricos separáveis ("mergulho de Fréchet"), assim como o espaço de todas as funções contínuas , novamente com a norma do supremo, um resultado devido a Stefan Banach.)
Além disso, toda isometria entre subconjuntos finitos de se estende a uma isometria de sobre si mesmo. Este tipo de "homogeneidade" na verdade caracteriza os espaços universais de Urysohn: Um espaço métrico completo separável que contém uma imagem isométrica de todo espaço métrico separável é universal de Urysohn se e somente se for homogêneo neste sentido.
Existência e unicidade Urysohn provou que um espaço universal de Urysohn existe, e que quaisquer dois espaços universais de Urysohn são isométricos. Isto pode ser visto da seguinte forma. Tome e , dois espaços universais de Urysohn. Eles são separáveis, então fixe nos respectivos espaços subconjuntos densos enumeráveis e . Estes devem ser propriamente infinitos, de modo que, por um argumento de vaivém (back-and-forth), pode-se construir passo a passo isometrias parciais cujo domínio (resp. imagem) contém (resp. ). A união destas aplicações define uma isometria parcial cujo domínio e imagem são densos nos respectivos espaços. E tais aplicações se estendem (unicamente) para isometrias, já que exige-se que um espaço universal de Urysohn seja completo.
Ver também
Espaços de Urysohn e completamente Hausdorff (também conhecida como a "curva universal de Menger") Espaço sóbrio
Referências
Categoria:Geometria métrica