Na álgebra homológica, a hiper-homologia ou hipercoomologia () é uma generalização dos functores de (co)homologia que recebe como entrada não objetos em uma categoria abeliana , mas sim complexos de cadeias de objetos, ou seja, objetos em . É uma espécie de cruzamento entre a coomologia de functor derivado de um objeto e a homologia de um complexo de cadeias, uma vez que a hipercoomologia corresponde ao functor de seções globais derivado .Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38. Cambridge University Press. .Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. (2003). Methods of Homological Algebra. 2nd ed. Springer Monographs in Mathematics. Springer. .
A hiper-homologia já não é muito utilizada: desde cerca de 1970 ela foi amplamente substituída pelo conceito quase equivalente de um functor derivado entre categorias derivadas.
Motivação Uma das motivações para a hipercoomologia vem do fato de que não há uma generalização óbvia das sequências exatas longas coomológicas associadas a sequências exatas curtas
isto é, existe uma sequência exata longa associada
Acontece que a hipercoomologia fornece técnicas para construir uma sequência exata longa associada coomológica semelhante a partir de uma sequência exata longa arbitrária, uma vez que suas entradas são dadas por complexos de cadeias em vez de apenas objetos de uma categoria abeliana.
Podemos transformar esse complexo de cadeias em um triângulo distinguido (usando a linguagem de categorias trianguladas em uma categoria derivada)
que denotamos por
Então, tomar as seções globais derivadas fornece uma sequência exata longa, que é uma sequência exata longa de grupos de hipercoomologia.
Definição Damos a definição para hipercoomologia, pois esta é mais comum. Como de costume, hipercoomologia e hiper-homologia são essencialmente a mesma coisa: converte-se de uma para a outra dualizando, ou seja, invertendo a direção de todas as setas, substituindo objetos injetivos por objetos projetivos, e assim por diante.
Suponha que seja uma categoria abeliana com injetivos suficientes e um functor exato à esquerda para outra categoria abeliana . Se é um complexo de objetos de limitado à esquerda, a hipercoomologia
de (para um número inteiro ) é calculada da seguinte forma: Tome um quase-isomorfismo , onde é um complexo de elementos injetivos de . A hipercoomologia de é então a coomologia do complexo .
A hipercoomologia de é independente da escolha do quase-isomorfismo, a menos de isomorfismos únicos.
A hipercoomologia também pode ser definida usando categorias derivadas: a hipercoomologia de é apenas a coomologia de considerado como um elemento da categoria derivada de .
Para complexos que se anulam em índices negativos, a hipercoomologia pode ser definida como os functores derivados de .
As sequências espectrais de hipercoomologia
Existem duas sequências espectrais de hipercoomologia; uma com termo
e a outra com termo
e termo
ambas convergindo para a hipercoomologia
,
onde é um functor derivado à direita de .
Aplicações Uma aplicação das sequências espectrais de hipercoomologia está no estudo de gerbes. Lembre-se de que fibrados vetoriais de posto em um espaço podem ser classificados como o grupo de coomologia de Čech . A ideia principal por trás dos gerbes é estender essa ideia coomologicamente, então, em vez de tomar para algum functor , consideramos o grupo de coomologia , de modo que ele classifica objetos que são colados por objetos no grupo classificador original. Um assunto intimamente relacionado que estuda gerbes e hipercoomologia é a Coomologia de Deligne.Brylinski, Jean-Luc (1993). Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization. Progress in Mathematics 107. Birkhäuser. .Giraud, Jean (1971). Cohomologie non abélienne. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 179. Springer.Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. (2003). Methods of Homological Algebra. 2nd ed. Springer Monographs in Mathematics. Springer. .
Exemplos
Ver também Resolução de Cartan-Eilenberg Functor derivado Categoria derivada
Referências
Bibliografia
Categoria:Álgebra homológica