Na matemática, particularmente na geometria algébrica, um morfismo plano (flat morphism) de um esquema para um esquema é um morfismo tal que o mapeamento induzido em cada talo é um mapeamento plano de anéis, ou seja,
é um mapeamento plano para todo em .EGA IV2, 2.1.1. Um mapeamento de anéis é chamado de plano se for um homomorfismo que faz de um -módulo plano. Um morfismo de esquemas é chamado de fielmente plano (faithfully flat) se for simultaneamente sobrejetivo e plano.EGA 0I, 6.7.8.
Duas intuições básicas em relação aos morfismos planos são: a planura é uma propriedade genérica; e a falha na planura ocorre no conjunto de saltos do morfismo.
A primeira delas vem da álgebra comutativa: sujeita a algumas condições de finitude sobre , pode-se mostrar que existe um subesquema aberto não vazio de , de modo que restrito a é um morfismo plano (planura genérica). Aqui, a 'restrição' é interpretada por meio do produto fibrado de esquemas, aplicado a e ao mapeamento de inclusão de em .
Para a segunda, a ideia é que morfismos na geometria algébrica podem exibir descontinuidades de um tipo que são detectadas pela planura. Por exemplo, a operação de contração na geometria birracional de uma superfície algébrica pode produzir uma única fibra de dimensão 1 quando todas as outras têm dimensão 0. Acontece (retrospectivamente) que a planura em morfismos está diretamente relacionada ao controle desse tipo de semicontinuidade, ou salto unilateral.
Os morfismos planos são usados para definir (mais de uma versão de) o topos plano, e a coomologia plana de feixes a partir dele. Esta é uma teoria profunda e não tem se mostrado fácil de manusear. O conceito de morfismo étale (e assim a coomologia étale) depende do conceito de morfismo plano: um morfismo étale sendo plano, de tipo finito e não ramificado.
Exemplos / não-exemplos Considere o morfismo de esquema afim
induzido pelo morfismo de álgebras
Como a planura deste morfismo é equivalente ao anulamento do grupo Tor
nós resolvemos os números complexos
e aplicamos o produto tensorial pelo módulo que representa nosso esquema, o que fornece a sequência de -módulos
Como não é um divisor de zero, temos um núcleo trivial; portanto, o grupo de homologia se anula.
Planura milagrosa Outros exemplos de morfismos planos podem ser encontrados usando a "planura milagrosa" (miracle flatness), que afirma que se um morfismo entre um esquema de Cohen-Macaulay para um esquema regular tem fibras equidimensionais, então ele é plano. Exemplos simples disso são as fibrações elípticas, os morfismos suaves e os morfismos para variedades estratificadas que satisfazem a planura milagrosa em cada um dos estratos.
Esquemas de Hilbert Os exemplos universais de morfismos planos de esquemas são dados por esquemas de Hilbert. Isso ocorre porque os esquemas de Hilbert parametrizam classes universais de morfismos planos, e todo morfismo plano é o pullback de algum esquema de Hilbert. Ou seja, se for plano, existe um diagrama comutativo
para o esquema de Hilbert de todos os morfismos planos para . Como é plano, as fibras têm todas o mesmo polinômio de Hilbert , e por isso poderíamos ter escrito de forma análoga para o esquema de Hilbert acima.
Não-exemplos
Explosão (Blowup) Uma classe de não-exemplos é dada pelas aplicações de explosão (blowup)
Um exemplo fácil é a explosão de um ponto em . Se pegarmos a origem, isso é dado pelo morfismo
enviando
onde a fibra sobre um ponto é uma cópia de , ou seja,
o que decorre de
Mas para , obtemos o isomorfismo
O motivo pelo qual isso falha em ser plano deve-se ao lema da planura milagrosa, o qual pode ser verificado localmente.
Resolução infinita Um não-exemplo simples de um morfismo plano é Isso ocorre porque
é um complexo infinito, o qual podemos encontrar obtendo uma resolução plana de ,
e aplicando o produto tensorial da resolução com , concluímos que
mostrando que o morfismo não pode ser plano. Outro não-exemplo de um morfismo plano é uma explosão, já que um morfismo plano necessariamente tem fibras equi-dimensionais.
Propriedades de morfismos planos Seja um morfismo de esquemas. Para um morfismo , sejam e O morfismo é plano se e somente se, para todo , a imagem inversa (pullback) for um functor exato da categoria de -módulos quase-coerentes para a categoria de -módulos quase-coerentes.EGA IV2, Proposition 2.1.3.
Assuma que e são morfismos de esquemas e é plano em pertencente a . Então é plano em se e somente se for plano em .EGA IV2, Corollaire 2.2.11(iv). Em particular, se for fielmente plano, então será plano ou fielmente plano se e somente se for plano ou fielmente plano, respectivamente.EGA IV2, Corollaire 2.2.13(iii).
Propriedades fundamentais A composição de dois morfismos planos é plana.EGA IV2, Corollaire 2.1.6. O produto fibrado de dois morfismos planos ou fielmente planos é um morfismo plano ou fielmente plano, respectivamente.EGA IV2, Corollaire 2.1.7, and EGA IV2, Corollaire 2.2.13(ii). A planura e a planura fiel são preservadas por mudança de base: Se é plano ou fielmente plano e , então o produto fibrado é plano ou fielmente plano, respectivamente.EGA IV2, Proposition 2.1.4, and EGA IV2, Corollaire 2.2.13(i). O conjunto de pontos onde um morfismo (localmente de apresentação finita) é plano é um conjunto aberto.EGA IV3, Théorème 11.3.1. Se é fielmente plano e de apresentação finita, e se for de tipo finito ou apresentação finita, então é de tipo finito ou apresentação finita, respectivamente.EGA IV3, Proposition 11.3.16.
Suponha que seja um morfismo plano de esquemas.
Se é um feixe quase-coerente de apresentação finita sobre (em particular, se é coerente), e se é o anulador de sobre , então , o pullback do mapeamento de inclusão, é uma injeção, e a imagem de em é o anulador de sobre .EGA IV2, Proposition 2.1.11. Se for fielmente plano e se for um -módulo quase-coerente, então o mapeamento de imagem inversa em seções globais é injetivo.EGA IV2, Corollaire 2.2.8.
Suponha que seja plano. Sejam e esquemas sobre , e sejam e suas mudanças de base por .
Se é quase-compacto e dominante, então a sua mudança de base é quase-compacta e dominante.EGA IV2, Proposition 2.3.7(i). Se é fielmente plano, então o mapeamento de imagem inversa é injetivo.EGA IV2, Corollaire 2.2.16. Assuma que seja quase-compacto e quase-separado. Seja a imagem fechada de , e seja a injeção canônica. Então o subesquema fechado determinado pela mudança de base é a imagem fechada de .EGA IV2, Proposition 2.3.2.
Propriedades topológicas Se é plano, então ele possui todas as seguintes propriedades:
Para cada ponto de e cada generalização de , existe uma generalização de de modo que .EGA IV2, Proposition 2.3.4(i). Para cada ponto de , .EGA IV2, Proposition 2.3.4(ii). Para cada subconjunto fechado irredutível de , toda componente irredutível de domina .EGA IV2, Proposition 2.3.4(iii). Se e são dois subconjuntos fechados irredutíveis de com contido em , então para toda componente irredutível de , existe uma componente irredutível de contendo .EGA IV2, Corollaire 2.3.5(i). Para cada componente irredutível de , o fecho de é uma componente irredutível de .EGA IV2, Corollaire 2.3.5(ii). Se for irredutível com um ponto genérico , e se for irredutível, então é irredutível.EGA IV2, Corollaire 2.3.5(iii). Se for também fechado, a imagem de cada componente conexa de é uma componente conexa de .EGA IV2, Proposition 2.3.6(ii). Para cada subconjunto pró-construtível de , .EGA IV2, Théorème 2.3.10.
Se é plano e localmente de apresentação finita, então é universalmente aberto.EGA IV2, Théorème 2.4.6. Contudo, se é fielmente plano e quase-compacto, não é verdade, em geral, que seja aberto, mesmo que e sejam noetherianos.EGA IV2, Remarques 2.4.8(i). Além disso, nenhuma recíproca a essa afirmação se sustenta: Se é o mapeamento canônico do esquema reduzido para , então é um homeomorfismo universal, mas para um não reduzido e noetheriano, nunca será plano.EGA IV2, Remarques 2.4.8(ii).
Se é fielmente plano e quase-compacto, então: A topologia em é a topologia quociente relativa a .EGA IV2, Corollaire 2.3.12. Se é um subconjunto de , então é um subconjunto pró-construtível localmente fechado de se e somente se for um subconjunto pró-construtível localmente fechado de .EGA IV2, Corollaire 2.3.14.
Se é plano e localmente de apresentação finita, então para cada uma das seguintes propriedades P, o conjunto de pontos onde tem a propriedade P é um conjunto aberto:EGA IV3, Théorème 12.1.6. Condição S de Serre (para qualquer fixo). Geometricamente regular. Geometricamente normal.
Se, além disso, for próprio, então a mesma regra vale para cada uma das propriedades a seguir:EGA IV3, Théorème 12.2.4. Geometricamente reduzido. Geometricamente reduzido e possuindo componentes conexas geométricas (para qualquer fixo). Geometricamente integral.
Planura e dimensão Assuma que e sejam localmente noetherianos, e seja .
Seja um ponto de e . Se for plano, então .EGA IV2, Corollaire 6.1.2. Inversamente, se esta igualdade for verdadeira para todos os , e for um esquema de Cohen-Macaulay, e for regular, e se além disso mapear pontos fechados para pontos fechados, então é plano.EGA IV2, Proposition 6.1.5. Note que a suposição de regularidade em é importante aqui. A extensão fornece um contra-exemplo com regular, normal, e sendo finito e sobrejetivo, porém não plano. Se for fielmente plano, então para cada subconjunto fechado de , .EGA IV2, Corollaire 6.1.4. Suponha que seja plano e que seja um módulo quase-coerente sobre . Se tem dimensão projetiva no máximo , então tem dimensão projetiva no máximo .EGA IV2, Corollaire 6.2.2.
Propriedades de descida (Descent) Assuma que é plano em pertencente a . Se é reduzido ou normal em , então é reduzido ou normal, respectivamente, em .EGA IV2, Proposition 2.1.13. Reciprocamente, se é também de apresentação finita e for reduzido ou normal, respectivamente, em , então é reduzido ou normal, respectivamente, em .EGA IV3, Proposition 11.3.13. Em particular, se é fielmente plano, então um reduzido ou normal implica que seja reduzido ou normal, respectivamente. Se é fielmente plano e de apresentação finita, então se todas as fibras de forem reduzidas ou normais, isso implica que é reduzido ou normal, respectivamente. Se é plano em pertencente a , e se for integral ou integralmente fechado em , então é integral ou integralmente fechado, respectivamente, em .EGA IV2, Proposition 2.1.13. Se é fielmente plano, é localmente integral, e o espaço topológico de for localmente noetheriano, então é localmente integral.EGA IV2, Proposition 2.1.14. Se é fielmente plano e quase-compacto, e se for localmente noetheriano, então também é localmente noetheriano.EGA IV2, Proposition 2.2.14. Assuma que é plano e que e sejam localmente noetherianos. Se é regular em , então é regular em . Reciprocamente, se é regular em e é regular em , então é regular em .EGA IV2, Corollaire 6.5.2. Assuma que é plano e que e sejam localmente noetherianos. Se é normal em , então é normal em . Reciprocamente, se for normal em e for normal em , então será normal em .EGA IV2, Corollaire 6.5.4.
Seja fielmente plano. Seja um feixe quase-coerente sobre , e seja o pullback de para . Então é plano sobre se e somente se for plano sobre .EGA IV2, Proposition 2.5.1.
Assuma que é fielmente plano e quase-compacto. Seja um feixe quase-coerente sobre , e denote por o seu pullback para . Então é de tipo finito, apresentação finita, ou localmente livre de posto se e somente se tiver a propriedade correspondente.EGA IV2, Proposition 2.5.2.
Suponha que seja um morfismo- de esquemas sobre . Seja fielmente plano e quase-compacto, e denotemos por , e as mudanças de base por . Então, para cada uma das propriedades P listadas a seguir, se tiver P, então tem P.EGA IV2, Proposition 2.6.2.
Aberto. Fechado. Quase-compacto e um homeomorfismo em sua imagem. Um homeomorfismo.