Na matemática, especialmente na teoria das categorias, a categoria de homotopia de uma ∞-categoria C é a categoria na qual os objetos são aqueles em C, mas o conjunto hom de x para y é o quociente do conjunto de morfismos de x para y em C por uma relação de equivalência apropriada.
Se uma ∞-categoria é definida como um complexo de Kan fraco (definição usual), então a construção é devida a Boardman e Vogt, que também deram a definição de uma ∞-categoria como um complexo de Kan fraco. Neste caso, a categoria de homotopia de uma ∞-categoria C é equivalente a , onde é um adjunto à esquerda do functor nervo.
Por exemplo, o complexo singular de um espaço topológico (razoável) X é um complexo de Kan e a categoria de homotopia do mesmo é o grupoide fundamental de X.
Construção de Boardman–Vogt
Seja C uma ∞-categoria. Se são morfismos (1-simplexos) em C, então escrevemos se existir um 2-simplexo tal que Então, pelo trabalho de Joyal, a relação revela-se ser uma relação de equivalência. Portanto, podemos tomar o quociente:
A categoria de homotopia no sentido de Boardman–Vogt é, assim, a categoria onde , e a composição é dada por quando exibe alguma composição de .
Seja um adjunto à esquerda para a inclusão da categoria dos conjuntos na categoria dos conjuntos simpliciais. Se é um complexo de Kan, então coincide com o conjunto de classes de homotopia simpliciais de aplicações . Nesse caso,
para cada objeto em .
Ver também Equivalência fraca entre conjuntos simpliciais
Referências
Bibliografia
Leitura adicional
Categoria:Teoria das categorias Categoria:Equivalência (matemática)