Na teoria dos números, um número ideal é um inteiro algébrico que representa um ideal no anel de inteiros de um corpo de números; a ideia foi desenvolvida por Ernst Kummer e levou à definição de ideais para anéis de Richard Dedekind. Um ideal no anel de inteiros de um corpo de números algébricos é principal se consistir em múltiplos de um único elemento do anel. Pelo teorema do ideal principal, qualquer ideal não principal torna-se principal quando estendido a um ideal do corpo de classes de Hilbert. Isso significa que existe um elemento do anel de inteiros do corpo de classes de Hilbert, que é um número ideal, tal que o ideal não principal original é igual à coleção de todos os múltiplos desse número ideal por elementos desse anel de inteiros que se encontram no anel de inteiros do corpo original.

Exemplo Por exemplo, seja uma raiz de , então o anel de inteiros do corpo é , o que significa que todos os com e inteiros formam o anel de inteiros. Um exemplo de um ideal não principal neste anel é o conjunto de todos os onde e são inteiros; o cubo deste ideal é principal e, de fato, o grupo de classes é cíclico de ordem três. O corpo de classes correspondente é obtido adjungindo um elemento que satisfaz a , resultando em . Um número ideal para o ideal não principal é . Como isso satisfaz a equação é um inteiro algébrico.

Todos os elementos do anel de inteiros do corpo de classes que, quando multiplicados por , dão um resultado em são da forma , onde

e

Os coeficientes α e β também são inteiros algébricos, satisfazendo

e

respectivamente. Multiplicar pelo número ideal dá , que é o ideal não principal.

História Kummer publicou pela primeira vez a falha da fatoração única em corpos ciclotômicos em 1844 numa revista obscura; foi reimpresso em 1847 na revista de Liouville. Em artigos subsequentes em 1846 e 1847, ele publicou o seu teorema principal, a fatoração única em primos (reais e ideais).

Acredita-se amplamente que Kummer foi levado aos seus "números complexos ideais" pelo seu interesse no Último Teorema de Fermat; há até uma história frequentemente contada de que Kummer, tal como Lamé, acreditava ter provado o Último Teorema de Fermat até que Lejeune Dirichlet lhe disse que o seu argumento dependia da fatoração única; mas a história foi contada pela primeira vez por Kurt Hensel em 1910 e as evidências indicam que provavelmente deriva de uma confusão por parte de uma das fontes de Hensel. Harold Edwards diz que a crença de que Kummer estava principalmente interessado no Último Teorema de Fermat "é certamente equivocada" (Edwards 1977, p. 79). O uso por Kummer da letra λ para representar um número primo, α para denotar uma λ-ésima raiz da unidade, e o seu estudo da fatoração do número primo em "números complexos compostos de -ésimas raízes da unidade" derivam todos diretamente de um artigo de Jacobi que trata de leis de reciprocidade superior. A memória de Kummer de 1844 foi em homenagem à celebração do jubileu da Universidade de Königsberg e destinava-se a ser um tributo a Jacobi. Embora Kummer tivesse estudado o Último Teorema de Fermat na década de 1830 e provavelmente estivesse ciente de que a sua teoria teria implicações para o seu estudo, é mais provável que o assunto de interesse de Jacobi (e de Gauss), as leis de reciprocidade superior, tivesse mais importância para ele. Kummer referiu-se à sua própria prova parcial do Último Teorema de Fermat para primos regulares como "uma curiosidade da teoria dos números em vez de um item principal" e à lei de reciprocidade superior (que ele formulou como uma conjectura) como "o assunto principal e o pináculo da teoria dos números contemporânea." Por outro lado, este último pronunciamento foi feito quando Kummer ainda estava entusiasmado com o sucesso do seu trabalho sobre reciprocidade e quando o seu trabalho sobre o Último Teorema de Fermat estava a perder fôlego, pelo que talvez possa ser encarado com algum ceticismo.

A extensão das ideias de Kummer ao caso geral foi realizada de forma independente por Kronecker e Dedekind durante os quarenta anos seguintes. Uma generalização direta encontrou dificuldades formidáveis e, eventualmente, levou Dedekind à criação da teoria dos módulos e dos ideais. Kronecker lidou com as dificuldades desenvolvendo uma teoria das formas (uma generalização das formas quadráticas) e uma teoria dos divisores. A contribuição de Dedekind tornar-se-ia a base da teoria dos anéis e da álgebra abstrata, enquanto a de Kronecker tornar-se-ia uma ferramenta importante na geometria algébrica.

Referências Nicolas Bourbaki, Elements of the History of Mathematics. Springer-Verlag, NY, 1999. Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem. A genetic introduction to number theory. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977. C.G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91. E.E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; reimpresso em Jour. de Math. 12 (1847) 185-212. E.E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367. John Stillwell, introdução a Theory of Algebraic Integers por Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Grã-Bretanha, 1996.

Ligações externas Ideal Numbers, Prova de que a teoria dos números ideais salva a fatoração única para inteiros ciclotômicos no Blog do Último Teorema de Fermat.

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