Em matemática, as séries de Appell são um conjunto de quatro séries hipergeométricas F1, F2, F3, F4 de duas variáveis que foram introduzidas por e que generalizam a série hipergeométrica de Gauss 2F1 de uma variável. Appell estabeleceu o conjunto de equações diferenciais parciais das quais estas funções são soluções, e encontrou várias fórmulas de redução e expressões destas séries em termos de séries hipergeométricas de uma variável.
Definições A série de Appell F1 é definida para |x| < 1, |y| < 1 pela série dupla
onde é o fatorial crescente (ou símbolo de Pochhammer). Para outros valores de x e y a função F1 pode ser definida por continuação analítica. Pode-se demonstrarVeja Burchnall & Chaundy (1940), fórmula (30). que
De modo análogo, a função F2 é definida para |x| + |y| < 1 pela série
e pode-se demonstrarVeja Burchnall & Chaundy (1940), fórmula (26) ou Erdélyi (1953), fórmula 5.12(9). que
A função F3 para |x| < 1, |y| < 1 também pode ser definida pela série
e a função F4 para |x| + |y| < 1 pela série
Cada uma das quatro séries pode ser representada como uma série simples onde os elementos são funções hipergeométricas gaussianas em termos de y:Veja Appell & Kampé de Fériet (1926), Capítulo I, fórmulas 15–18, página 15
Expressões similares podem ser obtidas mediante a troca das variáveis x e y e de seus respectivos parâmetros, por ex., c1 e c2 para F4.
Relações de recorrência Assim como a série hipergeométrica de Gauss 2F1, as séries duplas de Appell envolvem relações de recorrência entre funções contíguas. Por exemplo, um conjunto básico de tais relações para a F1 de Appell é dado por:
Qualquer outra relaçãoPor exemplo, válida para F1 pode ser derivada destas quatro.
Da mesma forma, todas as relações de recorrência para a F3 de Appell seguem a partir deste conjunto de cinco:
Derivadas e equações diferenciais Para a F1 de Appell, as seguintes derivadas resultam da definição por uma série dupla:
A partir de sua definição, constata-se também que a F1 de Appell satisfaz o seguinte sistema de equações diferenciais parciais de segunda ordem:
Um sistema de equações diferenciais parciais para F2 é
O sistema tem como solução
De modo similar, para F3 as seguintes derivadas resultam da definição:
E para F3 obtém-se o seguinte sistema de equações diferenciais:
Um sistema de equações diferenciais parciais para F4 é
O sistema tem como solução
Representações integrais As quatro funções definidas pela série dupla de Appell podem ser representadas em termos de integrais duplas envolvendo apenas funções elementares . No entanto, descobriu que a F1 de Appell também pode ser escrita como uma integral unidimensional do tipo de Euler:
Esta representação pode ser verificada por meio da expansão de Taylor do integrando, seguida por uma integração termo a termo.
Casos especiais A representação integral de Picard implica que as integrais elípticas incompletas F e E, bem como a integral elíptica completa Π são casos especiais da F1 de Appell:
Séries relacionadas
Existem sete séries relacionadas de duas variáveis, Φ1, Φ2, Φ3, Ψ1, Ψ2, Ξ1, e Ξ2, que generalizam de forma semelhante a função hipergeométrica confluente de Kummer 1F1 de uma variável e a função limite hipergeométrica confluente 0F1 de uma variável. A primeira destas foi introduzida por Pierre Humbert em 1920. definiu quatro funções similares às séries de Appell, mas dependendo de múltiplas variáveis em vez de apenas das duas variáveis x e y. Essas séries também foram estudadas por Appell. Elas satisfazem certas equações diferenciais parciais e também podem ser dadas em termos de integrais do tipo de Euler e integrais de contorno.
Referências
Bibliografia (veja também "Sur la série F3(α,α',β,β',γ; x,y)" em C. R. Acad. Sci. 90, pp. 977–980)
(veja p. 14)
(veja p. 224)
(veja também C. R. Acad. Sci. 90 (1880), pp. 1119–1121 e 1267–1269) (há uma edição em brochura de 2008 com )
Ligações externas
Categoria:Funções hipergeométricas Categoria:Séries matemáticas