alt=Gráfico da função hipergeométrica 2F1(a,b; c; z) com a=2 e b=3 e c=4 no plano complexo de -2 - 2i a 2 + 2i com cores criado com a função ComplexPlot3D do Mathematica 13.1|miniatura|Gráfico da função hipergeométrica 2F1(a,b; c; z) com a=2 e b=3 e c=4 no plano complexo de −2 − 2i a 2 + 2i com cores criado com a função ComplexPlot3D do Mathematica 13.1
Na matemática, a função hipergeométrica gaussiana ou ordinária 2F1(a, b; c; z) é uma função especial representada pela série hipergeométrica, que inclui muitas outras funções especiais como casos específicos ou casos limites. É uma solução de uma equação diferencial ordinária (EDO) linear de segunda ordem. Toda EDO linear de segunda ordem com três pontos singulares regulares pode ser transformada nesta equação.
Para listas sistemáticas de algumas das muitos milhares de identidades publicadas envolvendo a função hipergeométrica, veja as obras de referência de e . Não há um sistema conhecido para organizar todas as identidades; de fato, não há algoritmo conhecido que possa gerar todas as identidades; vários algoritmos diferentes são conhecidos por gerar diferentes séries de identidades. A teoria da descoberta algorítmica de identidades continua sendo um tópico de pesquisa ativo.
História O termo "série hipergeométrica" foi usado pela primeira vez por John Wallis em seu livro de 1655 Arithmetica Infinitorum.
As séries hipergeométricas foram estudadas por Leonhard Euler, mas o primeiro tratamento sistemático completo foi dado por .
Estudos no século XIX incluíram os de , e a caracterização fundamental por da função hipergeométrica por meio da equação diferencial que ela satisfaz.
Riemann mostrou que a equação diferencial de segunda ordem para 2F1(z), examinada no plano complexo, poderia ser caracterizada (na Esfera de Riemann) pelos seus três pontos singulares regulares.
Os casos onde as soluções são funções algébricas foram encontrados por Hermann Schwarz (Lista de Schwarz).
A série hipergeométrica A função hipergeométrica é definida para pela série de potências
Ela é indefinida (ou infinita) se for igual a um inteiro não positivo. Aqui é o símbolo de Pochhammer (crescente), que é definido por:
A série termina se ou for um inteiro não positivo, caso em que a função se reduz a um polinômio:
Para argumentos complexos com ela pode ser continuada analiticamente ao longo de qualquer caminho no plano complexo que evite os pontos de ramificação 1 e infinito. Na prática, a maioria das implementações de computador da função hipergeométrica adota um corte de ramo ao longo da reta .
Como , onde é um inteiro não negativo, tem-se . Dividindo pelo valor da função gama, obtemos o limite:
é o tipo mais comum de série hipergeométrica generalizada .
Fórmulas de diferenciação Usando a identidade , mostra-se que
e mais genericamente,
Casos especiais Muitas das funções matemáticas comuns podem ser expressas em termos da função hipergeométrica, ou como casos limite dela. Alguns exemplos típicos são
Quando a = 1 e b = c, a série se reduz a uma simples série geométrica, ou seja,
daí o nome hipergeométrica. Esta função pode ser considerada como uma generalização da série geométrica.
A função hipergeométrica confluente (ou função de Kummer) pode ser dada como um limite da função hipergeométrica
de modo que todas as funções que são essencialmente casos especiais desta, como as funções de Bessel, podem ser expressas como limites de funções hipergeométricas. Isso inclui a maioria das funções comumente usadas na física matemática.
As funções de Legendre são soluções de uma equação diferencial de segunda ordem com 3 pontos singulares regulares e, assim, podem ser expressas em termos da função hipergeométrica de muitas maneiras, por exemplo
Vários polinômios ortogonais, incluindo os Polinômios de Jacobi P e seus casos especiais Polinômios de Legendre, Polinômios de Chebyshev, Polinômios de Gegenbauer, Polinômios de Zernike podem ser escritos em termos de funções hipergeométricas usando
Outros polinômios que são casos especiais incluem os Polinômios de Krawtchouk, Polinômios de Meixner, Polinômios de Meixner-Pollaczek.
Dado , seja
Então
é a função lambda modular, onde
O j-invariante, uma função modular, é uma função racional em .
As funções beta incompletas Bx(p, q) estão relacionadas por
As integrais elípticas completas K e E são dadas por
A equação diferencial hipergeométrica A função hipergeométrica é uma solução da equação diferencial hipergeométrica de Euler
que possui três pontos singulares regulares: 0, 1 e ∞. A generalização desta equação para três pontos singulares regulares arbitrários é dada pela Equação diferencial de Riemann. Qualquer equação diferencial linear de segunda ordem com três pontos singulares regulares pode ser convertida para a equação diferencial hipergeométrica através de uma mudança de variáveis.
Soluções nos pontos singulares Soluções para a equação diferencial hipergeométrica são construídas a partir da série hipergeométrica 2F1(a, b; c; z). A equação tem duas soluções linearmente independentes. Em cada um dos três pontos singulares 0, 1, ∞, geralmente existem duas soluções especiais da forma xs vezes uma função holomorfa de x, onde s é uma das duas raízes da equação indicial e x é uma variável local que se anula em um ponto singular regular. Isso nos dá 3 × 2 = 6 soluções especiais, conforme abaixo.
Ao redor do ponto z = 0, duas soluções independentes são, se c não for um número inteiro não positivo,
e, com a condição de que c não seja um número inteiro,
Se c for um número inteiro não positivo 1 − m, então a primeira dessas soluções não existe e deve ser substituída por A segunda solução não existe quando c for um inteiro maior que 1, e é igual à primeira solução, ou sua substituição, quando c for qualquer outro inteiro. Portanto, quando c for um número inteiro, uma expressão mais complicada deve ser usada para uma segunda solução, igual à primeira solução multiplicada por ln(z), mais outra série em potências de z, envolvendo a função digama. Veja para maiores detalhes.
Ao redor de z = 1, se c − a − b não for um inteiro, têm-se duas soluções independentes
e
Ao redor de z = ∞, se a − b não for um inteiro, têm-se duas soluções independentes
e
Novamente, quando as condições de não-integralidade não são satisfeitas, existem outras soluções mais complicadas.
Quaisquer 3 das 6 soluções acima satisfazem a uma relação linear, pois o espaço de soluções é bidimensional, dando () = 20 relações lineares entre elas, chamadas de fórmulas de conexão.
As 24 soluções de Kummer Uma equação fuchsiana de segunda ordem com n pontos singulares possui um grupo de simetrias agindo (projetivamente) sobre suas soluções, isomórfico ao grupo de Coxeter W(Dn) de ordem 2n−1n!. A equação hipergeométrica é o caso n = 3, com grupo de ordem 24 isomórfico ao grupo simétrico de 4 pontos, conforme descrito pela primeira vez por Kummer. O surgimento do grupo simétrico é acidental e não tem análogo para mais de 3 pontos singulares, e por vezes é melhor pensar no grupo como uma extensão do grupo simétrico sobre 3 pontos (agindo como permutações dos 3 pontos singulares) por um grupo de Klein (cujos elementos mudam os sinais das diferenças dos expoentes em um número par de pontos singulares). O grupo de 24 transformações de Kummer é gerado pelas três transformações que levam uma solução F(a, b; c; z) a uma dentre
que correspondem às transposições (12), (23) e (34) sob um isomorfismo com o grupo simétrico sobre 4 pontos 1, 2, 3, 4. (A primeira e a terceira dessas são de fato iguais a F(a, b; c; z), enquanto a segunda é uma solução independente para a equação diferencial.)
Aplicar as 24 = 6×4 transformações de Kummer à função hipergeométrica fornece as 6 = 2×3 soluções dadas acima, correspondendo a cada um dos 2 expoentes possíveis em cada um dos 3 pontos singulares, sendo que cada qual aparece 4 vezes devido às identidades
Forma Q A equação diferencial hipergeométrica pode ser levada à forma Q
fazendo a substituição u = wv e eliminando o termo da primeira derivada. Constata-se que
e v é dada pela solução para
que é
A forma Q é importante por sua relação com a Derivada schwarziana .
Aplicações do triângulo de Schwarz
As aplicações do triângulo de Schwarz ou as funções s de Schwarz são as razões entre pares de soluções.
onde k é um dos pontos 0, 1, ∞. A notação
também é utilizada algumas vezes. Note que os coeficientes de conexão tornam-se transformações de Möbius nas aplicações dos triângulos.
Observe que cada aplicação de triângulo é regular em z ∈ {0, 1, ∞} respectivamente, com
e
No caso especial em que λ, μ e ν são reais, com 0 ≤ λ, μ, ν < 1, as aplicações s são aplicações conformes do semiplano superior H para triângulos na Esfera de Riemann, limitados por arcos circulares. Esse mapeamento é uma generalização do Mapeamento de Schwarz-Christoffel para triângulos com arcos circulares. Os pontos singulares 0, 1 e ∞ são enviados aos vértices do triângulo. Os ângulos do triângulo são πλ, πμ e πν respectivamente.
Além disso, no caso de λ=1/p, μ=1/q e ν=1/r para inteiros p, q, r, o triângulo pavimenta a esfera, o plano complexo ou o semiplano superior de acordo com se λ + μ + ν − 1 for positivo, zero ou negativo; e as aplicações s são funções inversas das funções automórficas do grupo triangular 〈p, q, r〉 = Δ(p, q, r).
Grupo de monodromia A monodromia de uma equação hipergeométrica descreve como as soluções fundamentais mudam quando continuadas analiticamente em torno de caminhos no plano z que retornam ao mesmo ponto. Ou seja, quando o caminho dá voltas ao redor de uma singularidade de 2F1, o valor das soluções no ponto final irá diferir do ponto de partida.
Duas soluções fundamentais da equação hipergeométrica estão relacionadas entre si por uma transformação linear; logo a monodromia é um mapeamento (homomorfismo de grupos):
onde π1 é o grupo fundamental. Em outras palavras, a monodromia é uma representação linear bidimensional do grupo fundamental. O grupo de monodromia da equação é a imagem deste mapa, i.e., o grupo gerado pelas matrizes de monodromia. A representação da monodromia do grupo fundamental pode ser calculada explicitamente em termos dos expoentes nos pontos singulares. Se (α, α'), (β, β') e (γ, γ') são os expoentes em 0, 1 e ∞, então, tomando z0 próximo de 0, os caminhos fechados ao redor de 0 e 1 possuem as matrizes de monodromia
onde
Se 1 − a, c − a − b, a − b são números racionais não inteiros com denominadores k, l, m, então o grupo de monodromia é finito se, e somente se, , veja a Lista de Schwarz ou o algoritmo de Kovacic.
Fórmulas integrais
Tipo de Euler Se B é a função beta, então
desde que z não seja um número real maior ou igual a 1. Isso pode ser demonstrado expandindo (1 − zx)−a usando o teorema binomial e integrando termo a termo para z com valor absoluto menor que 1, e por continuação analítica para os demais locais. Quando z for um número real maior ou igual a 1, a continuação analítica deve ser utilizada, pois (1 − zx) é igual a zero em algum ponto no suporte da integral, e assim o valor da integral pode ser mal-definido. Isso foi introduzido por Euler em 1748 e implica nas transformações hipergeométricas de Euler e Pfaff.
Outras representações, correspondentes a outros ramos principais, são dadas usando-se o mesmo integrando, mas com o caminho de integração sendo um Ciclo de Pochhammer fechado circundando as singularidades em diversas ordens. Esses caminhos correspondem à ação da monodromia.
Integral de Barnes Barnes usou a teoria dos resíduos para avaliar a integral de Barnes
como
onde o contorno é desenhado a fim de separar os polos 0, 1, 2... dos polos −a, −a − 1, ..., −b, −b − 1, ... . Isso é válido desde que z não seja um número real não-negativo.
Transformada de John A função hipergeométrica de Gauss pode ser escrita como uma Transformada de John .
Relações contíguas de Gauss As seis funções