Em matemática, os polinômios ortogonais clássicos são os polinômios ortogonais mais amplamente utilizados: os polinômios de Hermite, polinômios de Laguerre, polinômios de Jacobi (incluindo como um caso especial os polinômios de Gegenbauer, polinômios de Chebyshev e polinômios de LegendreVeja ).
Eles têm muitas aplicações importantes em áreas como a física matemática (em particular, a teoria de matrizes aleatórias), a teoria da aproximação, a análise numérica e muitas outras.
Os polinômios ortogonais clássicos apareceram no início do século XIX nos trabalhos de Adrien-Marie Legendre, que introduziu os polinômios de Legendre. No final do século XIX, o estudo de frações contínuas para resolver o problema dos momentos por P. L. Tchebychev e, em seguida, por A. A. Markov e T. J. Stieltjes levou à noção geral de polinômios ortogonais.
Para determinados polinômios e , os polinômios ortogonais clássicos são caracterizados por serem soluções da equação diferencial
com as constantes a serem determinadas . O artigo da Wikipédia sobre a Fórmula de Rodrigues apresenta uma prova de que os polinômios obtidos a partir da fórmula de Rodrigues obedecem a uma equação diferencial desta forma e também deriva .
Existem várias definições mais gerais de polinômios ortogonais clássicos; por exemplo, usam o termo para todos os polinômios no Esquema de Askey.
Definição
Em geral, os polinômios ortogonais com respeito a um peso satisfazem
As relações acima definem a menos de uma multiplicação por um número. Várias normalizações são usadas para fixar a constante, por ex.
Os polinômios ortogonais clássicos correspondem às seguintes três famílias de pesos:
A normalização padrão (também chamada de padronização) é detalhada abaixo.
Polinômios de Jacobi
Para os polinômios de Jacobi são dados pela fórmula
Eles são normalizados (padronizados) por
e satisfazem a condição de ortogonalidade
Os polinômios de Jacobi são soluções para a equação diferencial
Casos especiais importantes
Os polinômios de Jacobi com são chamados de Polinômios de Gegenbauer (com parâmetro ).
Para , estes são chamados de Polinômios de Legendre (para os quais o intervalo de ortogonalidade é [−1, 1] e a função peso é simplesmente 1):
Para , obtêm-se os Polinômios de Chebyshev (do segundo e do primeiro tipo, respectivamente).
Polinômios de Hermite
Os polinômios de Hermite são definidos poroutras convenções também são usadas; veja Polinômios de Hermite.
Eles satisfazem a condição de ortogonalidade
e a equação diferencial
Polinômios de Laguerre
Os polinômios generalizados de Laguerre são definidos por
(os polinômios clássicos de Laguerre correspondem a .)
Eles satisfazem a relação de ortogonalidade
e a equação diferencial
Equação diferencial
Os polinômios ortogonais clássicos surgem de uma equação diferencial da forma
onde Q é um polinômio dado quadrático (no máximo), e L é um polinômio linear dado. A função f, e a constante λ, devem ser encontradas.
(Note que faz sentido que tal equação tenha uma solução polinomial. Cada termo na equação é um polinômio, e os graus são consistentes.)
Esta é uma equação do tipo Sturm-Liouville. Tais equações geralmente têm singularidades em suas funções solução f, exceto para valores particulares de λ. Elas podem ser pensadas como problemas de autovetor/autovalor: Sendo D o operador diferencial, , e mudando o sinal de λ, o problema é encontrar os autovetores (autofunções) f, e os correspondentes autovalores λ, de modo que f não tenha singularidades e D(f) = λf.
As soluções desta equação diferencial possuem singularidades, a menos que λ assuma valores específicos. Há uma série de números λ0, λ1, λ2, ... que levam a uma série de soluções polinomiais P0, P1, P2, ... se um dos seguintes conjuntos de condições for atendido:
Q é realmente quadrático, L é linear, Q tem duas raízes reais distintas, a raiz de L encontra-se estritamente entre as raízes de Q, e os termos principais de Q e L têm o mesmo sinal. Q não é realmente quadrático, mas é linear, L é linear, as raízes de Q e L são diferentes, e os termos principais de Q e L têm o mesmo sinal se a raiz de L for menor que a raiz de Q, ou vice-versa. Q é apenas uma constante não nula, L é linear, e o termo principal de L tem o sinal oposto ao de Q.
Esses três casos levam aos polinômios do tipo Jacobi, tipo Laguerre, e tipo Hermite, respectivamente.
Em cada um desses três casos, temos o seguinte:
As soluções são uma série de polinômios P0, P1, P2, ..., cada Pn tendo grau n, e correspondendo a um número λn. O intervalo de ortogonalidade é delimitado por quaisquer raízes que Q tiver. A raiz de L está dentro do intervalo de ortogonalidade. Sendo , os polinômios são ortogonais sob a função peso W(x) não possui zeros ou infinitos dentro do intervalo, embora possa ter zeros ou infinitos nos pontos extremos. W(x) fornece um produto interno finito para quaisquer polinômios. W(x) pode ser tornada maior que 0 no intervalo. (Inverta o sinal de toda a equação diferencial, se necessário, para que Q(x) > 0 dentro do intervalo.)
Devido à constante de integração, a quantidade R(x) é determinada apenas a menos de uma constante multiplicativa positiva arbitrária. Ela será usada apenas em equações diferenciais homogêneas (onde isso não importa) e na definição da função peso (que também pode ser indeterminada). As tabelas abaixo darão os valores "oficiais" de R(x) e W(x).
Fórmula de Rodrigues
Sob os pressupostos da seção anterior, Pn(x) é proporcional a
Isso é conhecido como a fórmula de Rodrigues, em homenagem a Olinde Rodrigues. Frequentemente é escrita como
onde os números en dependem da padronização. Os valores padrão de en serão apresentados nas tabelas abaixo.
Os números λn Sob os pressupostos da seção anterior, temos
(Uma vez que Q é quadrático e L é linear, e são constantes, de forma que estes são apenas números.)
Segunda forma para a equação diferencial Seja
Então
Agora, multiplique a equação diferencial
por R/Q, obtendo
ou
Esta é a forma padrão de Sturm-Liouville para a equação.
Terceira forma para a equação diferencial Seja
Então
Agora, multiplique a equação diferencial
por S/Q, obtendo
ou
Mas , portanto
ou, considerando u = Sy,
Fórmulas envolvendo derivadas Sob as suposições da seção anterior, seja P a r-ésima derivada de Pn. (Colocamos o "r" entre colchetes para evitar confusão com um expoente.) P é um polinômio de grau n − r. Assim, temos o seguinte:
(ortogonalidade) Para um r fixo, a sequência polinomial P, P, P, ... são ortogonais, ponderados por . (fórmula de Rodrigues generalizada) P é proporcional a (equação diferencial) P é uma solução de , onde λr é a mesma função que λn, isto é, (equação diferencial, segunda forma) P é uma solução de
Existem também algumas recorrências mistas. Em cada uma destas, os números a, b e c dependem de n e r, e não têm relação com as várias fórmulas.
Existe um número enorme de outras fórmulas envolvendo polinômios ortogonais de várias maneiras. Aqui está uma pequena amostra delas, relacionadas aos polinômios de Chebyshev, aos polinômios associados de Laguerre e aos polinômios de Hermite:
Ortogonalidade
A equação diferencial para um determinado λ pode ser escrita (omitindo a dependência explícita em x)
multiplicando por resulta em
e invertendo os subíndices, resulta em
subtraindo e integrando:
mas pode ser visto que
de modo que:
Se os polinômios f são tais que o termo à esquerda é zero, e para , então a relação de ortogonalidade será válida:
para .
Derivação da equação diferencial
Todas as sequências polinomiais decorrentes da equação diferencial acima são equivalentes, sob o redimensionamento e/ou translação do domínio e padronização dos polinômios, a classes mais restritas. Essas classes restritas são exatamente os "polinômios ortogonais clássicos".
Toda sequência polinomial do tipo Jacobi pode ter o seu domínio transladado e/ou escalonado de modo que o seu intervalo de ortogonalidade seja [−1, 1], e tenha Q = 1 − x2. Eles podem então ser padronizados nos polinômios de Jacobi . Existem diversas subclasses importantes destes: Gegenbauer, Legendre, e dois tipos de Chebyshev. Toda sequência polinomial do tipo Laguerre pode ter o seu domínio transladado, escalonado e/ou refletido de forma que o seu intervalo de ortogonalidade seja , e tenha Q = x. Eles podem então ser padronizados nos polinômios associados de Laguerre . Os simples polinômios de Laguerre são uma subclasse destes. Toda sequência polinomial do tipo Hermite pode ter o seu domínio transladado e/ou escalonado para que o seu intervalo de ortogonalidade seja , e tenha Q = 1 e L(0) = 0. Eles podem então ser padronizados nos polinômios de Hermite .
Como todas as sequências polinomiais provenientes de uma equação diferencial da maneira descrita acima são trivialmente equivalentes aos polinômios clássicos, os próprios polinômios clássicos são sempre usados.
Polinômios de Jacobi Os polinômios do tipo Jacobi, uma vez que tenham seus domínios transladados e escalonados para que o intervalo de ortogonalidade seja [−1, 1], ainda possuem dois parâmetros a serem determinados. Estes são e nos polinômios de Jacobi, escritos como . Temos e . É exigido que tanto quanto sejam maiores que −1. (Isso coloca a raiz de L dentro do intervalo de ortogonalidade.)
Quando e não são iguais, esses polinômios não são simétricos em relação a x = 0.
A equação diferencial
é a equação de Jacobi.
Para maiores detalhes, veja Polinômios de Jacobi.
Polinômios de Gegenbauer Quando se define os parâmetros e nos polinômios de Jacobi iguais um ao outro, obtém-se os polinômios de Gegenbauer ou ultraesféricos. Eles são escritos como , e definidos como
Temos e . O parâmetro deve ser maior que −1/2.
(A propósito, a padronização apresentada na tabela abaixo não faria sentido para α = 0 e n ≠ 0, pois tornaria os polinômios nulos. Nesse caso, a padronização aceita define em vez do valor dado na tabela.)
Ignorando as considerações acima, o parâmetro está intimamente relacionado às derivadas de :
ou, de forma mais geral:
Todos os outros polinômios clássicos do tipo Jacobi (Legendre, etc.) são casos especiais dos polinômios de Gegenbauer, obtidos escolhendo-se um valor de e escolhendo uma padronização.
Para maiores detalhes, veja Polinômios de Gegenbauer.
Polinômios de Legendre A equação diferencial é
Esta é a equação de Legendre.
A segunda forma da equação diferencial é:
A relação de recorrência é
Uma recorrência mista é
A fórmula de Rodrigues é
Para maiores detalhes, veja Polinômios de Legendre.
Polinômios associados de Legendre Os polinômios associados de Legendre, denotados por onde e são inteiros com , são definidos como
O m entre parênteses (para evitar confusão com um expoente) é um parâmetro. O m entre colchetes denota a m-ésima derivada do polinômio de Legendre.
Estes "polinômios" têm um nome impróprio — eles não são polinômios quando m é ímpar.
Eles possuem uma relação de recorrência:
Para um m fixo, a sequência é ortogonal sobre [−1, 1], com peso 1.
Para um dado m, são as soluções de
Polinômios de Chebyshev A equação diferencial é
Esta é a equação de Chebyshev.
A relação de recorrência é
A fórmula de Rodrigues é
Esses polinômios possuem a propriedade de que, no intervalo de ortogonalidade,
(Para provar isso, utilize a fórmula de recorrência.)
Isto significa que todos os seus mínimos e máximos locais têm valores de −1 e +1, ou seja, os polinômios são "nivelados". Por conta disso, a expansão de funções em termos de polinômios de Chebyshev é por vezes utilizada para aproximações polinomiais em bibliotecas matemáticas computacionais.
Alguns autores usam versões desses polinômios que foram transladadas para que o intervalo de ortogonalidade seja [0, 1] ou [−2, 2].
Existem também os polinômios de Chebyshev do segundo tipo, denotados por
Temos:
Para maiores detalhes, incluindo as expressões para os primeiros polinômios, veja Polinômios de Chebyshev.