Em matemática, uma sequência de Sheffer ou poweroide é uma sequência polinomial, ou seja, uma sequência de polinômios na qual o índice de cada polinômio é igual ao seu grau, satisfazendo condições relacionadas ao cálculo umbral em combinatória. Elas recebem esse nome em homenagem a Isador M. Sheffer.
Definição Fixe uma sequência polinomial . Defina um operador linear sobre polinômios em por
Isso determina para todos os polinômios. A sequência polinomial é uma sequência de Sheffer se o operador linear recém-definido for equivariante por translação; tal é então um operador delta. Aqui, definimos um operador linear sobre polinômios como sendo equivariante por translação se, sempre que for uma "translação" de , então ; ou seja, comuta com todo operador de translação: .
Propriedades O conjunto de todas as sequências de Sheffer é um grupo sob a operação de composição umbral de sequências polinomiais, definida da seguinte forma. Suponha que e sejam sequências polinomiais, dadas por
Então a composição umbral é a sequência polinomial cujo enésimo termo é (o subscrito aparece em , pois este é o enésimo termo daquela sequência, mas não em , pois este se refere à sequência como um todo, em vez de a um de seus termos).
O elemento neutro deste grupo é a base monomial padrão
Dois subgrupos importantes são o grupo das sequências de Appell, que são aquelas sequências para as quais o operador é a mera diferenciação, e o grupo das sequências de tipo binomial, que são aquelas que satisfazem a identidade Uma sequência de Sheffer é do tipo binomial se e somente se ambas e
O grupo de sequências de Appell é abeliano; o grupo de sequências do tipo binomial não é. O grupo de sequências de Appell é um subgrupo normal; o grupo de sequências do tipo binomial não é. O grupo de sequências de Sheffer é um produto semidireto do grupo de sequências de Appell e do grupo de sequências do tipo binomial. Segue-se que cada classe lateral do grupo de sequências de Appell contém exatamente uma sequência do tipo binomial. Duas sequências de Sheffer estão na mesma classe lateral se, e somente se, o operador descrito acima – chamado de "operador delta" daquela sequência – for o mesmo operador linear em ambos os casos. (Geralmente, um operador delta é um operador linear equivariante por translação sobre polinômios que reduz o grau em um. O termo foi cunhado por F. Hildebrandt.)
Se é uma sequência de Sheffer e é a única sequência do tipo binomial que compartilha o mesmo operador delta, então
Às vezes, o termo sequência de Sheffer é definido para significar uma sequência que possui essa relação com alguma sequência do tipo binomial. Em particular, se for uma sequência de Appell, então
A sequência dos polinômios de Hermite, a sequência dos polinômios de Bernoulli e os monômios são exemplos de sequências de Appell.
Uma sequência de Sheffer é caracterizada por sua função geradora exponencial onde e são séries de potências (formais) em . As sequências de Sheffer são, portanto, exemplos de polinômios de Appell generalizados e, por consequência, possuem uma relação de recorrência associada.
Exemplos Exemplos de sequências polinomiais que são sequências de Sheffer incluem:
Os polinômios de Abel Os polinômios de Bernoulli Os polinômios de Euler Os polinômios fatoriais centrais Os polinômios de Hermite Os polinômios de Laguerre Os monômios Os polinômios de Mott Os polinômios de Bernoulli do segundo tipo Os fatoriais decrescentes e crescentes Os polinômios de Touchard Os polinômios de Mittag-Leffler
Referências
Reimpresso na referência a seguir.
Reimpresso pela Dover, 2005.
Ligações externas
Categoria:Polinômios ortogonais