Os polinômios de Kravchuk ou polinômios de Krawtchouk (também escritos usando várias outras transliterações do sobrenome ucraniano ) são polinômios ortogonais discretos associados à distribuição binomial, introduzidos por . Os primeiros polinômios são (para q = 2):
Os polinômios de Kravchuk são um caso especial dos polinômios de Meixner do primeiro tipo.
Definição Para qualquer potência de um número primo q e inteiro positivo n, define-se o polinômio de Kravchuk
para . Na segunda linha, os fatores dependentes de foram reescritos em termos de fatoriais decrescentes, para auxiliar os leitores não familiarizados com argumentos não inteiros em coeficientes binomiais.
Propriedades O polinômio de Kravchuk possui as seguintes expressões alternativas:
Note que há mais do que uma mera recombinação de material dos dois coeficientes binomiais separando estas expressões da definição acima. Nestas fórmulas, apenas um termo da soma tem grau , ao passo que na definição todos os termos têm grau .
Relações de simetria Para inteiros , temos que
Relações de ortogonalidade Para inteiros não negativos r, s,
Função geradora A série geradora dos polinômios de Kravchuk é dada a seguir. Aqui é uma variável formal.
Recorrência de três termos Os polinômios de Kravchuk satisfazem a relação de recorrência de três termos
Ver também Matriz de Krawtchouk Polinômios de Hermite
Referências
Bibliografia
. .
Ligações externas
Página Inicial dos Polinômios de Krawtchouk "Krawtchouk polynomial" no MathWorld
Categoria:Polinômios ortogonais