Em matemática, os polinômios de Gegenbauer ou polinômios ultraesféricos C(x) são polinômios ortogonais no intervalo [−1,1] com respeito à função peso (1 − x2)α–1/2. Eles generalizam os polinômios de Legendre e os polinômios de Chebyshev, e são casos especiais dos polinômios de Jacobi. O nome é uma homenagem a Leopold Gegenbauer.
Caracterizações
Uma variedade de caracterizações dos polinômios de Gegenbauer está disponível.
Os polinômios podem ser definidos em termos de sua função geradora:
Os polinômios satisfazem a relação de recorrência:
Os polinômios de Gegenbauer são soluções particulares da equação diferencial de Gegenbauer:
Quando α = 1/2, a equação se reduz à equação de Legendre, e os polinômios de Gegenbauer reduzem-se aos polinômios de Legendre. Quando α = 1, a equação se reduz à equação diferencial de Chebyshev, e os polinômios de Gegenbauer reduzem-se aos polinômios de Chebyshev do segundo tipo.Arfken, Weber, and Harris (2013) "Mathematical Methods for Physicists", 7ª edição; cap. 18.4
Eles são dados como séries hipergeométricas gaussianas em certos casos onde a série é de fato finita:
Aqui (2α)n é o fatorial crescente. Explicitamente,
A partir disto, também é fácil obter o valor no argumento unitário:
Eles são casos especiais dos polinômios de Jacobi:
na qual representa o fatorial crescente de . Portanto, tem-se também a fórmula de Rodrigues
Uma normalização alternativa define . Assumindo esta normalização alternativa, as derivadas de Gegenbauer são expressas em termos de polinômios de Gegenbauer:
Ortogonalidade e normalização
Para um α > -1/2 fixo, os polinômios são ortogonais em [−1, 1] em relação à função peso
Ou seja, para n ≠ m,
Eles são normalizados por
Aplicações Os polinômios de Gegenbauer aparecem naturalmente como extensões dos polinômios de Legendre no contexto da teoria do potencial e da análise harmônica. O potencial newtoniano em Rn tem a expansão, válida com α = (n − 2)/2,
Quando n = 3, isso fornece a expansão em polinômios de Legendre do potencial gravitacional. Expressões semelhantes estão disponíveis para a expansão do núcleo de Poisson em uma bola.
Segue-se que as quantidades são harmônicos esféricos, quando consideradas apenas como função de x. Elas são, de fato, exatamente os harmônicos esféricos zonais, a menos de uma constante de normalização.
Os polinômios de Gegenbauer também aparecem na teoria das funções positivas definidas.
A Desigualdade de Askey-Gasper diz
Em métodos espectrais para resolver equações diferenciais, se uma função é expandida na base dos polinômios de Chebyshev e a sua derivada é representada em uma base de Gegenbauer/ultraesférica, então o operador derivada torna-se uma matriz diagonal, levando a métodos rápidos de matrizes em banda para grandes problemas.
Outras propriedades Representação integral do tipo Dirichlet-Mehler:Representação integral do tipo Laplace:Fórmula de adição:
Comportamento Assintótico Dado(a) fixo(a) , uniformemente para todo , para ,
onde é o símbolo de Pochhammer, eO resto tem um limite superior explícito:onde é a Função gama.
Outras fórmulas assintóticas podem ser obtidas como casos especiais de fórmulas assintóticas para os polinômios de Jacobi mais gerais.
Ver também
Polinômios de Rogers, o q-análogo dos polinômios de Gegenbauer Polinômios de Chebyshev Polinômios de Romanovski
Referências
Específicas
Categoria:Polinômios ortogonais Categoria:Funções hipergeométricas especiais