Em matemática, especificamente na análise funcional, uma série é incondicionalmente convergente se todos os rearranjos da série convergirem para o mesmo valor. Em contraste, uma série é condicionalmente convergente se ela converge, mas ordenações diferentes não convergem todas para esse mesmo valor. A convergência incondicional é equivalente à convergência absoluta em espaços vetoriais de dimensão finita, mas é uma propriedade mais fraca em dimensões infinitas.
Definição Seja um espaço vetorial topológico. Seja um conjunto de índices e para todo
A série é dita incondicionalmente convergente para se
o conjunto de índices é enumerável, e para toda permutação (bijeção) de a seguinte relação for válida:
Definição alternativa A convergência incondicional é frequentemente definida de maneira equivalente: Uma série é incondicionalmente convergente se para toda sequência com a série converge.
Se é um espaço de Banach, toda série absolutamente convergente é incondicionalmente convergente, mas a implicação inversa não é válida em geral. De fato, se é um espaço de Banach de dimensão infinita, então pelo Teorema de Dvoretzky-Rogers sempre existe uma série incondicionalmente convergente neste espaço que não é absolutamente convergente. No entanto, quando pelo Teorema das séries de Riemann, a série é incondicionalmente convergente se e somente se for absolutamente convergente.
Ver também
Convergência absoluta Modos de convergência Rearranjos e convergência incondicional / Teorema de Dvoretzky-Rogers Teorema das séries de Riemann
Referências
Ch. Heil: A Basis Theory Primer