Em matemática, a fórmula de Rodrigues (anteriormente chamada de fórmula de Ivory-Jacobi) gera os polinômios de Legendre. Ela foi introduzida independentemente por , e . O nome "fórmula de Rodrigues" foi introduzido por Heine em 1878, após Hermite ter apontado em 1865 que Rodrigues foi o primeiro a descobri-la. O termo também é usado para descrever fórmulas semelhantes para outros polinômios ortogonais. descreve a história da fórmula de Rodrigues em detalhes.
Afirmação Seja uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo em relação à função peso . Ou seja, eles têm graus , e satisfazem a condição de ortogonalidade
onde são constantes não nulas dependendo de , e é o delta de Kronecker. O intervalo pode ser infinito em uma ou ambas as extremidades.
De forma mais abstrata, isso pode ser visto através da Teoria de Sturm-Liouville. Defina um operador , então a equação diferencial é equivalente a . Defina o espaço funcional como o espaço de Hilbert de funções sobre , de tal modo que . Então o operador é autoadjunto sobre funções que satisfaçam certas condições de fronteira, permitindo-nos aplicar o teorema espectral.
Função geradora Um argumento simples usando a fórmula integral de Cauchy mostra que os polinômios ortogonais obtidos da fórmula de Rodrigues têm uma função geradora da forma
As funções aqui podem não ter as normalizações padrão. Mas podemos escrever isso de forma equivalente como
onde os são escolhidos de acordo com a aplicação de modo a dar as normalizações desejadas. A variável pode ser substituída por um múltiplo constante de de modo que
Isto dá uma forma alternativa da função geradora.
Pela fórmula integral de Cauchy, a fórmula de Rodrigues é equivalente aonde a integral é ao longo de um laço fechado no sentido anti-horário em torno de . Seja
Então a integral de caminho complexa assume a forma
onde agora o caminho fechado C circunda a origem. Na equação para , é uma função implícita de . A expansão de na série de potências dada anteriormente resulta em
Apenas o termo tem um resíduo não nulo, que é . O coeficiente foi descartado uma vez que normalizações são convenções que podem ser inseridas posteriormente conforme discutido anteriormente.
Ao expressar em termos de na fórmula geral recém dada para , fórmulas explícitas para podem ser encontradas. Como um exemplo simples, seja e (polinômios de Hermite) de modo que , , e assim .
Exemplos + Família Legendre Chebyshev (do primeiro tipo) Chebyshev (do segundo tipo) Gegenbauer/ultraesféricos Jacobi Laguerre associados Hermite (dos físicos) Estas fórmulas são para os polinômios ortogonais clássicos. Fórmulas semelhantes são válidas para muitas outras sequências de funções ortogonais resultantes das equações de Sturm-Liouville, e estas também são chamadas de fórmula de Rodrigues (ou fórmula do tipo Rodrigues), especialmente quando a sequência resultante é polinomial.
Legendre Fonte:
Rodrigues estabeleceu a sua fórmula para os polinômios de Legendre :
Para polinômios de Legendre, a função geradora é definida como
.
A integral de contorno resulta na integral de Schläfli para polinômios de Legendre:
Somando o integrando
onde . Para pequeno, temos , o que sugere heuristicamente que a integral deve ser o resíduo em torno de , dando assim
Hermite Fonte:Arfken and Weber 2005, p. 817.
Polinômios de Hermite (dos físicos):
A função geradora é definida como
A integral de contorno resulta em
Laguerre Fonte:Arfken and Weber 2005, p. 837.
Para os polinômios de Laguerre associados
A função geradora é definida como
Pelo mesmo método, temos .
Jacobi Fonte:
onde , e o ramo principal da raiz quadrada é escolhido de modo que .
Ver também Polinômios ortogonais clássicos
Referências
Categoria:Polinômios ortogonais