thumb|direita|210px|Gráfico de uma função cúbica com 3 raízes reais (onde a curva cruza o eixo horizontal — onde ). O caso mostrado tem dois pontos críticos. Aqui a função é .
Na matemática, uma função cúbica é uma função da forma ou seja, uma função polinomial de grau três. Em muitos textos, supõe-se que os coeficientes , , e sejam números reais, e a função é considerada como uma função real que mapeia números reais para números reais, ou como uma função complexa que mapeia números complexos para números complexos. Em outros casos, os coeficientes podem ser números complexos, e a função é uma função complexa que tem o conjunto dos números complexos como seu contradomínio, mesmo quando o domínio é restrito aos números reais.
Definir produz uma equação cúbica da forma
cujas soluções são chamadas de raízes da função. A derivada de uma função cúbica é uma função quadrática.
Uma função cúbica com coeficientes reais tem uma ou três raízes reais (que podem não ser distintas); todos os polinômios de grau ímpar com coeficientes reais têm pelo menos uma raiz real.
O gráfico de uma função cúbica sempre tem um único ponto de inflexão. Pode ter dois pontos críticos, um mínimo local e um máximo local. Caso contrário, uma função cúbica é monótona. O gráfico de uma função cúbica é simétrico em relação ao seu ponto de inflexão; ou seja, é invariante sob uma rotação de meia volta em torno deste ponto. A menos de uma transformação afim, existem apenas três gráficos possíveis para funções cúbicas.
As funções cúbicas são fundamentais para a interpolação cúbica.
História
Pontos críticos e de inflexão thumb|direita|Pontos críticos e de inflexão de uma função cúbica. Os pontos críticos de uma função cúbica são seus pontos estacionários, ou seja, os pontos onde a inclinação da função é zero. Assim, os pontos críticos de uma função cúbica definida por , ocorrem em valores de tais que a derivada
da função cúbica seja zero.
As soluções desta equação são os valores de dos pontos críticos e são dadas, usando a fórmula quadrática, por: .
O sinal da expressão dentro da raiz quadrada determina o número de pontos críticos. Se for positivo, então há dois pontos críticos, um é um máximo local e o outro é um mínimo local. Se , então há apenas um ponto crítico, que é um ponto de inflexão. Se , então não há pontos críticos (reais). Nos dois últimos casos, ou seja, se for não positivo, a função cúbica é estritamente monótona. Veja a figura para um exemplo do caso .
O ponto de inflexão de uma função é onde essa função muda de concavidade. Um ponto de inflexão ocorre quando a segunda derivada , é zero e a terceira derivada é não nula. Assim, uma função cúbica sempre tem um único ponto de inflexão, que ocorre em .
Classificação thumb|Funções cúbicas da forma O gráfico de qualquer função cúbica é semelhante a essa curva.
O gráfico de uma função cúbica é uma curva cúbica, embora muitas curvas cúbicas não sejam gráficos de funções.
Embora as funções cúbicas dependam de quatro parâmetros, seu gráfico pode ter apenas algumas poucas formas. De facto, o gráfico de uma função cúbica é sempre semelhante ao gráfico de uma função da forma
Esta semelhança pode ser construída como a composição de translações paralelas aos eixos de coordenadas, uma homotetia (escala uniforme) e, possivelmente, uma reflexão (imagem espelhada) em relação ao eixo . Uma escala não uniforme adicional pode transformar o gráfico no gráfico de uma entre as três funções cúbicas
Isto significa que existem apenas três gráficos de funções cúbicas a menos de uma transformação afim.
As transformações geométricas acima podem ser construídas da seguinte maneira, partindo de uma função cúbica geral .
Primeiramente, se , a mudança de variável permite supor que . Após esta mudança de variável, o novo gráfico é a imagem espelhada do anterior, em relação ao eixo .
Em seguida, a mudança de variável fornece uma função da forma . Isso corresponde a uma translação paralela ao eixo .
A mudança de variável corresponde a uma translação em relação ao eixo e fornece uma função da forma .
A mudança de variável , corresponde a uma escala uniforme e fornece, após a multiplicação por , uma função da forma , que é a forma mais simples que pode ser obtida por uma semelhança.
Então, se , a escala não uniforme fornece, após a divisão por , , onde tem o valor ou , dependendo do sinal de . Se definirmos , a última forma da função se aplica a todos os casos (com e ).
Simetria Para uma função cúbica da forma o ponto de inflexão é, portanto, a origem. Como tal função é uma função ímpar, seu gráfico é simétrico em relação ao ponto de inflexão e invariante sob uma rotação de meia volta em torno do ponto de inflexão. Como essas propriedades são invariantes por semelhança, o seguinte é verdadeiro para todas as funções cúbicas.
O gráfico de uma função cúbica é simétrico em relação ao seu ponto de inflexão e é invariante sob uma rotação de meia volta em torno do ponto de inflexão.
Colinearidades thumb|Os pontos , e (em azul) são colineares e pertencem ao gráfico de . Os pontos , e (em vermelho) são as interseções das retas tangentes (pontilhadas) ao gráfico nestes pontos com o próprio gráfico. Eles também são colineares.
As retas tangentes ao gráfico de uma função cúbica em três pontos colineares intercetam a cúbica novamente em pontos colineares. Isso pode ser visto da seguinte forma.
Como esta propriedade é invariante sob um movimento rígido, pode-se supor que a função tem a forma .
Se é um número real, então a tangente ao gráfico de no ponto é a reta .
Portanto, o ponto de interseção entre esta reta e o gráfico de pode ser obtido resolvendo a equação , ou seja
que pode ser reescrita como
e fatorada como
Logo, a tangente intercepta a cúbica em
Assim, a função que mapeia um ponto do gráfico para o outro ponto onde a tangente intercepta o gráfico é
Esta é uma transformação afim que transforma pontos colineares em pontos colineares. Isso prova o resultado afirmado.
Interpolação cúbica
Dados os valores de uma função e sua derivada em dois pontos, existe exatamente uma função cúbica que tem os mesmos quatro valores, que é chamada de spline cúbica de Hermite.
Existem duas maneiras padrão de usar esse fato. Primeiramente, se soubermos, por exemplo, por medição física, os valores de uma função e sua derivada em alguns pontos de amostragem, podemos interpolar a função com uma função continuamente diferenciável, que é uma função cúbica definida por partes.
Se o valor de uma função for conhecido em vários pontos, a interpolação cúbica consiste em aproximar a função por uma função continuamente diferenciável, que é cúbica definida por partes. Para ter uma interpolação definida de forma única, mais duas restrições devem ser adicionadas, como os valores das derivadas nas extremidades ou uma curvatura zero nas extremidades.
Ligações externas
História das equações quadráticas, cúbicas e quárticas no arquivo MacTutor.
Categoria:Cálculo Categoria:Funções polinomiais