Na álgebra comutativa, a dimensão de Krull de um anel comutativo R, nomeada em homenagem a Wolfgang Krull, é o supremo dos comprimentos de todas as cadeias de ideais primos. A dimensão de Krull não precisa ser finita, mesmo para um anel noetheriano. De forma mais geral, a dimensão de Krull pode ser definida para módulos sobre anéis possivelmente não comutativos como o desvio do conjunto parcialmente ordenado (poset) de submódulos.

A dimensão de Krull foi introduzida para fornecer uma definição algébrica para a dimensão de uma variedade algébrica: a dimensão da variedade afim definida por um ideal I num anel de polinômios R é a dimensão de Krull de R/I.

Um corpo k possui dimensão de Krull 0; mais genericamente, k[x1, ..., xn] possui dimensão de Krull n. Um domínio de ideais principais que não é um corpo tem dimensão de Krull 1. Um anel local tem dimensão de Krull 0 se e somente se cada elemento de seu ideal maximal for nilpotente.

Existem diversas outras maneiras que foram usadas para definir a dimensão de um anel. A maioria delas coincide com a dimensão de Krull para anéis noetherianos, mas podem diferir para anéis não noetherianos.

Explicação Dizemos que uma cadeia de ideais primos da forma

tem comprimento . Ou seja, o comprimento é o número de inclusões estritas, não o número de primos; estes diferem em . Definimos a dimensão de Krull de como o supremo dos comprimentos de todas as cadeias de ideais primos em .

Dado um ideal primo em , definimos a altura de , denotada por , como sendo o supremo dos comprimentos de todas as cadeias de ideais primos contidas em , o que significa que .Matsumura, Hideyuki: "Commutative Ring Theory", páginas 30–31, 1989 Em outras palavras, a altura de é a dimensão de Krull da localização de em . Um ideal primo tem altura zero se e somente se for um ideal primo minimal. A dimensão de Krull de um anel é o supremo das alturas de todos os ideais maximais, ou as de todos os ideais primos. A altura também é às vezes chamada de codimensão, posto ou altitude de um ideal primo.

Em um anel noetheriano, todo ideal primo tem altura finita. Não obstante, Nagata deu um exemplo de um anel noetheriano de dimensão de Krull infinita.Eisenbud, D. Commutative Algebra (1995). Springer, Berlim. Exercício 9.6. Um anel é chamado de catenário se qualquer inclusão de ideais primos puder ser estendida a uma cadeia maximal de ideais primos entre e , e quaisquer duas cadeias maximais entre e tiverem o mesmo comprimento. Um anel é chamado de universalmente catenário se qualquer álgebra finitamente gerada sobre ele for catenária. Nagata deu um exemplo de um anel noetheriano que não é catenário.Matsumura, H. Commutative Algebra (1970). Benjamin, Nova Iorque. Exemplo 14.E.

Num anel noetheriano, um ideal primo tem altura de no máximo se e somente se for um ideal primo minimal sobre um ideal gerado por elementos (teorema da altura de Krull e a sua recíproca). Isso implica que a condição da cadeia descendente se mantém para ideais primos de tal modo que os comprimentos das cadeias descendentes a partir de um ideal primo são limitados pelo número de geradores do primo.

De forma mais geral, a altura de um ideal é o ínfimo das alturas de todos os ideais primos que contêm . Na linguagem da geometria algébrica, esta é a codimensão da subvariedade de correspondente a .

Esquemas

Segue-se prontamente da definição do espectro de um anel Spec(R), o espaço dos ideais primos de R munido da topologia de Zariski, que a dimensão de Krull de R é igual à dimensão do seu espectro como um espaço topológico, o que significa o supremo dos comprimentos de todas as cadeias de subconjuntos fechados irredutíveis. Isso segue imediatamente da conexão de Galois entre ideais de R e subconjuntos fechados de Spec(R) e da observação de que, pela definição de Spec(R), cada ideal primo de R corresponde a um ponto genérico do subconjunto fechado associado a pela conexão de Galois.

Exemplos

A dimensão de um anel de polinômios sobre um corpo k[x1, ..., xn] é o número de variáveis n. Na linguagem da geometria algébrica, isto diz que o espaço afim de dimensão n sobre um corpo tem dimensão n, como esperado. Em geral, se R é um anel noetheriano de dimensão n, então a dimensão de R[x] é n + 1. Se a hipótese noetheriana for descartada, então R[x] pode ter dimensão em qualquer lugar entre n + 1 e 2n + 1. Por exemplo, o ideal tem altura 2, já que podemos formar a cadeia ascendente maximal de ideais primos . Dado um polinômio irredutível , o ideal não é primo (pois , mas nenhum dos fatores é), mas podemos facilmente calcular a altura, já que o menor ideal primo contendo é apenas . O anel dos inteiros Z tem dimensão 1. Mais genericamente, qualquer domínio de ideais principais que não seja um corpo tem dimensão 1. Um domínio de integridade é um corpo se e somente se sua dimensão de Krull for zero. Os domínios de Dedekind que não são corpos (por exemplo, anéis de valorização discreta) têm dimensão um. A dimensão de Krull do anel nulo é tipicamente definida como sendo ou . O anel nulo é o único anel com uma dimensão negativa. Um anel é artiniano se e somente se for noetheriano e a sua dimensão de Krull for ≤0. Uma extensão inteira de um anel tem a mesma dimensão que o anel possui. Seja R uma álgebra sobre um corpo k que seja um domínio de integridade. Então a dimensão de Krull de R é menor ou igual ao grau de transcendência do corpo de frações de R sobre k.Krull dimension less or equal than transcendence degree? A igualdade é mantida se R for finitamente gerado como uma álgebra (por exemplo, pelo Lema de normalização de Noether). Seja R um anel noetheriano, I um ideal e o anel graduado associado (os geômetras o chamam de anel do cone normal de I). Então é o supremo das alturas dos ideais maximais de R contendo I. Um anel noetheriano comutativo de dimensão de Krull zero é um produto direto de um número finito (possivelmente um) de anéis locais de dimensão de Krull zero. Um anel local noetheriano é chamado de anel de Cohen-Macaulay se a sua dimensão for igual à sua profundidade. Um anel local regular é um exemplo de tal anel. Um domínio de integridade noetheriano é um domínio de fatoração única se e somente se todo ideal primo de altura 1 for principal.Hartshorne, Robin: "Algebraic Geometry", página 7, 1977 Para um anel noetheriano comutativo, as três seguintes condições são equivalentes: ser um anel reduzido de dimensão de Krull zero, ser um corpo ou um produto direto de corpos, ser regular de von Neumann.

De um módulo

Se for um anel comutativo e for um -módulo, definimos a dimensão de Krull de como sendo a dimensão de Krull do quociente de que torna um módulo fiel. Ou seja, nós a definimos pela fórmula:

onde , o anulador, é o núcleo do mapa natural de no anel de endomorfismos -lineares de .

Na linguagem de esquemas, os módulos finitamente gerados são interpretados como feixes coerentes, ou fibrados vetoriais generalizados de posto finito.

Para anéis não comutativos

A dimensão de Krull de um módulo sobre um anel possivelmente não comutativo é definida como o desvio do poset de submódulos ordenados por inclusão. Para anéis noetherianos comutativos, isto é o mesmo que a definição usando cadeias de ideais primos.McConnell, J.C. and Robson, J.C. Noncommutative Noetherian Rings (2001). Amer. Math. Soc., Providence. Corollary 6.4.8. As duas definições podem ser diferentes para anéis comutativos que não são noetherianos.

Ver também Dispersão analítica Teoria da dimensão (álgebra) Dimensão de Gelfand-Kirillov Função de Hilbert Conjecturas homológicas na álgebra comutativa Teorema do ideal principal de Krull

Referências

Bibliografia Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, . Página 32. Seção 4.7.

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