Em matemática, a teoria da dimensão é o estudo, em termos de álgebra comutativa, da noção de dimensão de uma variedade algébrica (e, por extensão, a de um esquema). A necessidade de uma teoria para uma noção aparentemente tão simples resulta da existência de muitas definições de dimensão que são equivalentes apenas nos casos mais regulares (veja Dimensão de uma variedade algébrica). Grande parte da teoria da dimensão consiste em estudar as condições sob as quais várias dimensões são iguais, e muitas classes importantes de anéis comutativos podem ser definidas como os anéis tais que duas dimensões são iguais; por exemplo, um anel regular é um anel comutativo tal que a dimensão homológica é igual à dimensão de Krull.
A teoria é mais simples para anéis comutativos que são álgebras finitamente geradas sobre um corpo, que também são anéis quocientes de anéis de polinômios em um número finito de indeterminadas sobre um corpo. Neste caso, que é a contraparte algébrica do caso dos conjuntos algébricos afins, a maioria das definições de dimensão é equivalente. Para anéis comutativos em geral, a falta de interpretação geométrica é um obstáculo ao desenvolvimento da teoria; em particular, muito pouco se sabe sobre anéis não noetherianos. (A obra Commutative rings de Kaplansky fornece um bom relato do caso não noetheriano.)
Ao longo do artigo, denota a dimensão de Krull de um anel e a altura de um ideal primo (ou seja, a dimensão de Krull da localização naquele ideal primo). Supõe-se que os anéis sejam comutativos, exceto na última seção sobre dimensões de anéis não comutativos.
Resultados básicos
Seja um anel noetheriano ou um anel de valorização. Então
Se for noetheriano, isso decorre do teorema fundamental abaixo (em particular, o teorema do ideal principal de Krull), mas também é consequência de um resultado mais preciso. Para qualquer ideal primo em ,
para qualquer ideal primo em que se contrai para . Isso pode ser demonstrado dentro da teoria básica dos anéis (cf. Kaplansky, commutative rings). Além disso, em cada fibra de , não se pode ter uma cadeia de ideais primos de comprimento .
Como um anel artiniano (por exemplo, um corpo) tem dimensão zero, por indução obtém-se uma fórmula: para um anel artiniano ,
Anéis locais
Teorema fundamental Seja um anel local noetheriano e um ideal primário em relação a (ou seja, ele se encontra entre alguma potência de e ). Seja a série de Poincaré do anel graduado associado . Ou seja,
onde se refere ao comprimento de um módulo (sobre um anel artiniano ). Se geram , então suas imagens em têm grau 1 e geram como uma -álgebra. Pelo teorema de Hilbert-Serre, é uma função racional com exatamente um polo em de ordem . Como
descobrimos que o coeficiente de em é da forma
Ou seja, é um polinômio em de grau . é chamado de polinômio de Hilbert de .
Definimos . Também definimos como o número mínimo de elementos de que podem gerar um ideal -primário de . Nossa ambição é provar o teorema fundamental:
Como podemos assumir que seja , já temos a partir do exposto acima. A seguir, provamos que por indução em . Seja uma cadeia de ideais primos em . Seja e um elemento não nulo e não inversível (não unidade) em . Como não é um divisor de zero, temos a sequência exata
O limite de grau do polinômio de Hilbert-Samuel agora implica que . (Isso decorre essencialmente do lema de Artin-Rees; veja função de Hilbert-Samuel para o enunciado e a demonstração.) Em , a cadeia se torna uma cadeia de comprimento e assim, por hipótese indutiva e novamente pela estimativa de grau,
A afirmação segue. Resta agora mostrar Mais precisamente, mostraremos:
(Aviso: é então -primário.) A demonstração foi omitida. Ela aparece, por exemplo, em Atiyah–MacDonald. Mas também pode ser suprida separadamente; a ideia é usar a fuga de ideais primos.
Consequências do teorema fundamental Seja um anel local noetheriano e defina . Então , pois uma base de pode ser elevada a um conjunto gerador de pelo lema de Nakayama. Se a igualdade se sustenta, então é chamado de anel local regular. , uma vez que . (Teorema do ideal principal de Krull) A altura do ideal gerado pelos elementos em um anel noetheriano é no máximo . Reciprocamente, um ideal primo de altura é minimal sobre um ideal gerado por elementos. (Demonstração: Seja um ideal primo minimal sobre tal ideal. Então . A recíproca foi mostrada no decorrer da demonstração do teorema fundamental.)
Demonstração: Sejam os geradores de um ideal -primário e elementos cujas imagens geram um ideal -primário. Então para algum . Elevando ambos os lados a potências superiores, vemos que alguma potência de está contida em ; ou seja, este último ideal é -primário; assim, . A igualdade é uma aplicação direta da propriedade de descida (going-down). C.Q.D.
Demonstração: Se formam uma cadeia de ideais primos em , então formam uma cadeia de ideais primos em , enquanto não é um ideal maximal. Assim, . Para a desigualdade inversa, seja um ideal maximal de e . Claramente, . Como é então uma localização de um domínio de ideais principais e tem dimensão no máximo um, obtemos pela desigualdade anterior. Como é arbitrário, segue-se que . C.Q.D.
Fórmula de altitude de Nagata
Demonstração: Primeiro suponha que é um anel de polinômios. Por indução no número de variáveis, é suficiente considerar o caso . Como é plano sobre ,
Pelo lema de normalização de Noether, o segundo termo do lado direito é:
Em seguida, suponha que seja gerado por um único elemento; assim, . Se = 0, então já terminamos. Suponha que não. Então é algébrico sobre e, portanto, . Como é um subanel de , e, assim, pois é algébrico sobre . Seja a pré-imagem em de . Então, como , pelo caso polinomial,
Aqui, observe que a desigualdade é uma igualdade se for catenário. Finalmente, trabalhando com uma cadeia de ideais primos, é simples reduzir o caso geral para o caso acima. C.Q.D.
Métodos homológicos
Anéis regulares Seja um anel noetheriano. A dimensão projetiva de um -módulo finito é o comprimento mais curto de qualquer resolução projetiva de (possivelmente infinita) e é denotada por . Definimos ; que é chamada de dimensão global de .
Suponha que seja local com corpo residual .
Demonstração: Afirmamos: para qualquer -módulo finito ,
Por deslocamento de dimensão (cf. a demonstração do Teorema de Serre abaixo), basta provar isso para . Mas então, pelo critério local de planura, Agora,
completando a demonstração. C.Q.D.
Observação: A demonstração também mostra que se não for livre e for o núcleo de alguma sobrejeção de um módulo livre para .
Demonstração: Se , então é livre sobre e assim é livre sobre . Em seguida, suponha que . Então temos: conforme a observação acima. Assim, por indução, é suficiente considerar o caso . Então existe uma resolução projetiva: , que nos dá:
Mas Portanto, é no máximo 1. C.Q.D.
Demonstração: Se é regular, podemos escrever , onde é um sistema regular de parâmetros. Uma sequência exata , com algum no ideal maximal, de módulos finitos, , nos dá:
Mas aqui é zero, já que anula . Assim, e consequentemente . Usando isso, obtemos:
A demonstração da recíproca é feita por indução em . Começamos com o passo indutivo. Definimos , onde está entre um sistema de parâmetros. Para mostrar que é regular, basta mostrar que é regular. Mas, como , pela hipótese indutiva e o lema anterior com ,
Resta o caso base. Suponha que . Afirmamos que se for finito. (Isso implicaria que é um anel local semissimples; ou seja, um corpo). Se não for o caso, então existe algum módulo finito com e, de fato, podemos encontrar com . Pelo lema de Nakayama, existe uma sobrejeção de um módulo livre para cujo núcleo está contido em . Como , o ideal maximal é um primo associado de ; ou seja, para algum não nulo em . Como , . Uma vez que não é nulo e é livre, isso implica que , o que é absurdo. C.Q.D.
Demonstração: Seja um anel local regular. Então , que é um domínio integralmente fechado. É um exercício padrão de álgebra mostrar que isso implica que é um domínio integralmente fechado. Agora, precisamos mostrar que todo ideal divisorial é principal; ou seja, que o grupo de classes de divisores de se anula. Mas, de acordo com Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 7, §. 4. Corolário 2 da Proposição 16, um ideal divisorial é principal se admitir uma resolução livre finita, o que é de fato o caso pelo teorema. C.Q.D.
Profundidade
Seja um anel e um módulo sobre ele. Uma sequência de elementos em é chamada de sequência regular em se não for um divisor de zero em e não for um divisor de zero em para cada . A priori, não é óbvio se qualquer permutação de uma sequência regular ainda é regular (veja a seção abaixo para alguma resposta positiva).
Seja um anel local noetheriano com ideal maximal e defina . Então, por definição, a profundidade de um -módulo finito é o supremo dos comprimentos de todas as sequências regulares em dentro de . Por exemplo, temos consiste em divisores de zero em está associado a . Por indução, encontramos
para quaisquer primos associados de . Em particular, . Se a igualdade se mantém para = , é chamado de anel de Cohen-Macaulay.
Exemplo: Um anel local noetheriano regular é Cohen-Macaulay (já que um sistema regular de parâmetros é uma sequência -regular).
Em geral, um anel noetheriano é chamado de anel de Cohen-Macaulay se as localizações em todos os ideais maximais forem Cohen-Macaulay. Notamos que um anel de Cohen-Macaulay é universalmente catenário. Isso implica, por exemplo, que um anel de polinômios é universalmente catenário, já que é regular e, portanto, Cohen-Macaulay.
Demonstração: Primeiro provamos por indução em a seguinte afirmação: para cada -módulo e cada sequência -regular em ,
O passo base = 0 é trivial. A seguir, por hipótese de indução, . Mas este último é zero porque o anulador de contém alguma potência de . Assim, a partir da sequência exata e do fato de que anula , usando novamente a hipótese indutiva, obtemos
provando (). Agora, se , então podemos encontrar uma sequência -regular de comprimento maior que e assim por () vemos que . Resta mostrar que se . Por () podemos assumir que = 0. Então está associado a ; logo está no suporte de . Por outro lado, Segue-se por álgebra linear que há um homomorfismo não nulo de para módulo ; consequentemente, um de para pelo lema de Nakayama. C.Q.D.
A fórmula de Auslander-Buchsbaum relaciona profundidade e dimensão projetiva.
Demonstração: Argumentamos por indução em , sendo o caso base (ou seja, livre) trivial. Pelo lema de Nakayama, temos a sequência exata onde é livre e a imagem de está contida em . Como o que precisamos mostrar é que . Como anula , a sequência exata produz: para qualquer ,
Note que o termo mais à esquerda é zero se . Se , então, como por hipótese de indução, vemos que Se , então e deve ser C.Q.D.
Como uma questão de notação, para qualquer -módulo , deixamos
Vê-se sem dificuldade que é um funtor exato à esquerda e então definimos como seu -ésimo funtor derivado à direita, chamado de coomologia local de . Como , por um absurdo abstrato (abstract nonsense),
Esta observação prova a primeira parte do teorema abaixo.
Demonstração: 1. já foi notado (exceto para mostrar o não anulamento no grau igual à profundidade de ; use indução para ver isso) e 3. é um fato geral por absurdo abstrato. 2. é uma consequência de um cálculo explícito de uma coomologia local por meio de complexos de Koszul (veja abaixo).
Complexo de Koszul
Seja um anel e um elemento nele. Formamos o complexo de cadeias () dado por para = 0, 1 e para qualquer outro com a diferencial
Para qualquer -módulo , obtemos então o complexo com a diferencial e deixamos ser sua homologia. Note:
Mais geralmente, dada uma sequência finita de elementos em um anel , formamos o produto tensorial de complexos:
e deixamos ser sua homologia. Como antes,
Temos agora a caracterização homológica de uma sequência regular.