Em álgebra, o lema de Artin–Tate, nomeado em homenagem a John Tate e seu ex-orientador Emil Artin, afirma:Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, , Exercise 4.32 Seja A um anel noetheriano comutativo e álgebras comutativas sobre A. Se C é de tipo finito sobre A e se C é finito sobre B, então B é de tipo finito sobre A. (Aqui, "de tipo finito" significa "álgebra finitamente gerada" e "finito" significa "módulo finitamente gerado".) O lema foi introduzido por E. Artin e J. Tate em 1951E Artin, J.T Tate, "A note on finite ring extensions," J. Math. Soc Japan, Volume 3, 1951, pp. 74–77 para fornecer uma demonstração do Nullstellensatz de Hilbert. O lema é semelhante ao teorema de Eakin–Nagata, que afirma: se C é finito sobre B e C é um anel noetheriano, então B é um anel noetheriano.
Demonstração A demonstração a seguir pode ser encontrada em Atiyah–MacDonald.M. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1994. . Proposition 7.8 Sejam geradores de como -álgebra e geradores de como -módulo. Então podemos escrever
com . Então é finito sobre a -álgebra gerada pelos . Usando o fato de que e, portanto, são noetherianos, conclui-se que também é finito sobre . Como é uma -álgebra finitamente gerada, também é uma -álgebra finitamente gerada.
Necessidade da condição noetheriana Sem a hipótese de que A é noetheriano, o enunciado do lema de Artin–Tate deixa de ser verdadeiro. De fato, para qualquer anel não noetheriano A, podemos definir uma estrutura de A-álgebra sobre declarando . Então, para qualquer ideal que não seja finitamente gerado, não é de tipo finito sobre A, mas todas as demais condições do lema são satisfeitas.
Referências
Ligações externas http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin-Tate_lemma
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