Na geometria tridimensional, uma projeção paralela (ou projeção axonométrica) é uma projeção de um objeto no espaço tridimensional sobre um plano fixo, conhecido como plano de projeção ou plano da imagem, onde os raios, conhecidos como linhas de visão ou linhas de projeção, são paralelos uns aos outros. Trata-se de uma ferramenta básica da geometria descritiva. A projeção é chamada de ortográfica (ou ortogonal) se os raios forem perpendiculares (ortogonais) ao plano da imagem, e oblíqua ou reversa se não o forem.
Visão geral thumb|Terminologia e notações da projeção paralela. Os dois segmentos de reta paralelos azuis à direita permanecem paralelos quando projetados no plano da imagem à esquerda Uma projeção paralela é um caso particular de projeção na matemática e projeção gráfica no desenho técnico. As projeções paralelas podem ser vistas como o limite de uma projeção central ou perspectiva cônica, na qual os raios passam por um ponto fixo chamado de centro ou ponto de vista, à medida que este ponto é movido em direção ao infinito. Em outras palavras, uma projeção paralela corresponde a uma projeção em perspectiva com uma distância focal (a distância entre a lente e o ponto focal na fotografia) ou "zoom" infinito. Além disso, nas projeções paralelas, retas que são paralelas no espaço tridimensional permanecem paralelas na imagem projetada bidimensionalmente.
Uma projeção em perspectiva de um objeto é frequentemente considerada mais realista do que uma projeção paralela, uma vez que se assemelha mais à visão humana e à fotografia. No entanto, as projeções paralelas são populares em aplicações técnicas, uma vez que o paralelismo das linhas e faces de um objeto é preservado, e medições diretas podem ser obtidas a partir da imagem. Dentre as projeções paralelas, as projeções ortogonais são vistas como as mais realistas, e são comumente usadas por engenheiros. Por outro lado, certos tipos de projeções oblíquas (por exemplo, perspectiva cavaleira, perspectiva militar) são muito simples de implementar e são usados para criar ilustrações rápidas e informais de objetos.
O termo projeção paralela é usado na literatura para descrever tanto o próprio procedimento (uma função de mapeamento matemático) quanto a imagem resultante produzida pelo procedimento.
Propriedades 300px|thumb|Duas projeções paralelas de um cubo. Em uma projeção ortogonal (à esquerda), as linhas de projeção são perpendiculares ao plano da imagem (rosa). Em uma projeção oblíqua (à direita), as linhas de projeção estão em um ângulo oblíquo em relação ao plano da imagem Toda projeção paralela possui as seguintes propriedades: É definida exclusivamente pelo seu plano de projeção Π e pela direção das linhas de projeção (paralelas). A direção não deve ser paralela ao plano de projeção. Qualquer ponto do espaço tem uma imagem única no plano de projeção Π, e os pontos de Π são fixos. Qualquer reta não paralela à direção é mapeada sobre uma reta; qualquer reta paralela a é mapeada sobre um ponto. Retas paralelas são mapeadas sobre retas paralelas (ou sobre um par de pontos se forem paralelas a ). A razão dos comprimentos de dois segmentos de reta em uma reta ou em duas retas paralelas permanece inalterada. Como um caso especial, pontos médios são mapeados sobre pontos médios. O baricentro de um conjunto de pontos no espaço é mapeado para o baricentro da imagem desses pontos. O comprimento de um segmento de reta paralelo ao plano de projeção permanece inalterado. O comprimento de qualquer segmento de reta não é aumentado se a projeção for ortogonal. Qualquer círculo que se encontre em um plano paralelo ao plano de projeção é mapeado sobre um círculo com o mesmo raio. Qualquer outro círculo é mapeado sobre uma elipse (ou um segmento de reta se a direção for paralela ao plano do círculo). Ângulos, em geral, não são preservados. Mas ângulos retos com uma reta paralela ao plano de projeção permanecem inalterados. Qualquer retângulo é mapeado sobre um paralelogramo (ou um segmento de reta se for paralela ao plano do retângulo). Qualquer figura em um plano que seja paralelo ao plano da imagem é congruente à sua imagem.
Tipos thumb|right|Uma projeção paralela corresponde a uma projeção em perspectiva com um ponto de vista hipotético; isto é, aquele onde a câmera se encontra a uma distância infinita do objeto e tem uma distância focal, ou "zoom", infinito thumb|Várias projeções e como elas são produzidas
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal é derivada dos princípios da geometria descritiva, e é um tipo de projeção paralela onde os raios de projeção são perpendiculares ao plano de projeção. É o tipo de projeção de escolha para desenhos de execução. O termo ortográfica (ou ortogonal) é por vezes reservado especificamente para representações de objetos onde os eixos ou planos principais do objeto também são paralelos ao plano de projeção (ou ao papel no qual a projeção ortogonal ou paralela é desenhada). No entanto, o termo vista principal também é usado. Em projeções de múltiplas vistas, até seis imagens de um objeto são produzidas, com cada plano de projeção perpendicular a um dos eixos coordenados. Contudo, quando os planos ou eixos principais de um objeto não são paralelos ao plano de projeção, mas são, em vez disso, inclinados em algum grau para revelar múltiplos lados do objeto, eles são chamados de vistas auxiliares ou pictoriais. Às vezes, o termo projeção axonométrica é reservado exclusivamente para essas vistas e é justaposto ao termo projeção ortogonal. Porém, a projeção axonométrica poderia ser mais precisamente descrita como sinônimo de projeção paralela, e a projeção ortogonal como um tipo de projeção axonométrica.
As vistas principais incluem plantas, elevações e cortes; e as projeções isométrica, dimétrica e trimétrica poderiam ser consideradas vistas auxiliares. Uma característica típica (mas não obrigatória) das projeções ortogonais de múltiplas vistas é que um eixo do espaço geralmente é exibido como vertical.
Quando a direção de visualização é perpendicular à superfície do objeto representado, independentemente da orientação do objeto, ela é referida como uma projeção normal. Dessa forma, no caso de um cubo orientado com o sistema de coordenadas de um espaço, as vistas principais do cubo seriam consideradas projeções normais.
Projeção oblíqua
thumb|right|Comparação de vários tipos de projeção gráfica. A presença de um ou mais ângulos principais de 90° geralmente é um bom indício de que a perspectiva é oblíqua. Numa projeção oblíqua, os raios paralelos de projeção não são perpendiculares ao plano de visualização, mas incidem sobre o plano de projeção em um ângulo diferente de noventa graus. Tanto na projeção ortogonal quanto na oblíqua, retas paralelas no espaço aparecem paralelas na imagem projetada. Devido à sua simplicidade, a projeção oblíqua é usada exclusivamente para propósitos ilustrativos em vez de desenhos técnicos formais. Num desenho ilustrativo oblíquo, os ângulos exibidos que separam os eixos de coordenadas, bem como os fatores de escorço (escala), são arbitrários. A distorção criada por este meio é normalmente atenuada alinhando-se um plano do objeto imageado para que seja paralelo ao plano de projeção, gerando uma imagem de formato real e em tamanho real do plano escolhido. Tipos especiais de projeções oblíquas incluem a projeção militar, a cavaleira e a projeção gabinete.
Representação analítica Se o plano da imagem for dado pela equação e a direção da projeção por , então a reta de projeção passando pelo ponto é parametrizada por com . A imagem de é a interseção da reta com o plano ; ela é dada pela equação
Em diversos casos, estas fórmulas podem ser simplificadas.
(S1) Se for possível escolher os vetores e de tal modo que , a fórmula para a imagem simplifica-se para
(S2) Em uma projeção ortogonal, os vetores e são paralelos. Neste caso, pode-se escolher e obtém-se
(S3) Se pudermos escolher os vetores e de forma que , e se o plano da imagem contiver a origem, teremos e a projeção paralela será um mapeamento linear:
(Aqui é a matriz identidade e o produto externo.)
A partir dessa representação analítica de uma projeção paralela pode-se deduzir a maioria das propriedades enunciadas nas seções anteriores.
História A axonometria teve origem na China. Sua função na arte chinesa era diferente da perspectiva linear na arte europeia, uma vez que sua perspectiva não era objetiva, ou seja, de olhar de fora. Em vez disso, seus padrões utilizavam projeções paralelas no interior da pintura que permitiam ao observador considerar tanto o espaço quanto a contínua progressão do tempo em um único pergaminho. De acordo com o autor científico e jornalista do Medium, Jan Krikke, a axonometria, e a gramática pictórica que a acompanha, assumiram um novo significado com a introdução da computação visual e do desenho isométrico.
O conceito de isometria já existia em uma forma empírica rústica há séculos, bem antes do Professor William Farish (1759–1837) da Universidade de Cambridge ter sido o primeiro a fornecer regras detalhadas para o desenho isométrico.Barclay G. Jones (1986). Protecting historic architecture and museum collections from natural disasters. University of Michigan. . p. 243.Charles Edmund Moorhouse (1974). Visual messages: graphic communication for senior students.
Farish publicou suas ideias no artigo de 1822 "On Isometric Perspective" ("Sobre a Perspectiva Isométrica"), no qual ele reconheceu a "necessidade de desenhos de trabalho técnico precisos e livres de distorção óptica. Isso o levaria a formular a isometria. Isometria significa "medidas iguais", pois a mesma escala é utilizada para altura, largura e profundidade".J. Krikke (1996). "A Chinese perspective for cyberspace? ". Em: International Institute for Asian Studies Newsletter, 9, verão de 1996.
Desde meados do século XIX, de acordo com Jan Krikke (2006) a isometria tornou-se uma "ferramenta inestimável para engenheiros e, logo em seguida, a axonometria e a isometria foram incorporadas ao currículo de cursos de treinamento em arquitetura na Europa e nos EUA. A aceitação popular da axonometria ocorreu na década de 1920, quando os arquitetos modernistas da Bauhaus e da De Stijl a adotaram". Arquitetos do De Stijl, como Theo van Doesburg, utilizaram a axonometria para seus projetos arquitetônicos, causando uma grande sensação quando expostos em Paris em 1923".
Desde a década de 1920, a axonometria, ou perspectiva paralela, forneceu uma técnica gráfica importante para artistas, arquitetos e engenheiros. Assim como a perspectiva linear, a axonometria ajuda a representar o espaço tridimensional num plano de imagem bidimensional. Ela normalmente já vem como um recurso padrão em sistemas de CAD e outras ferramentas de computação visual.Jan Krikke (2000). "Axonometry: a matter of perspective". Em: Computer Graphics and Applications, IEEE jul/ago 2000. Vol 20 (4), pp. 7–11.
Limitações
thumb|Mural de Paul Kuniholm 1924-1st-Ave-Criado-2019-Julho-6 Objetos desenhados com projeção paralela não aparentam ser maiores ou menores à medida que ficam mais próximos ou mais distantes do observador. Embora vantajoso para desenhos arquitetônicos, em que as medidas devem ser extraídas diretamente da imagem, o resultado é uma distorção percebida, uma vez que, diferente da projeção em perspectiva, não é assim que a visão humana ou a fotografia funcionam normalmente. Isso também pode facilmente resultar em situações nas quais a profundidade e a altitude são difíceis de dimensionar, como é demonstrado na ilustração à direita.