Na matemática, no campo da álgebra abstrata, o teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais é uma generalização do teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados e, a grosso modo, afirma que módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais (DIP) podem ser unicamente decompostos de maneira muito semelhante a como os inteiros possuem uma fatoração em primos. O resultado fornece uma estrutura simples para entender vários resultados de forma canônica para matrizes quadradas sobre corpos.

Enunciado

Quando um espaço vetorial sobre um corpo F tem um conjunto gerador finito, pode-se extrair dele uma base consistindo em um número finito n de vetores, e o espaço é, portanto, isomorfo a Fn. A afirmação correspondente com F generalizado para um domínio de ideais principais R não é mais verdadeira, uma vez que uma base para um módulo finitamente gerado sobre R pode não existir. No entanto, tal módulo ainda é isomorfo a um quociente de algum módulo Rn com n finito (para ver isso, basta construir o morfismo que envia os elementos da base canônica de Rn para os geradores do módulo, e tomar o quociente pelo seu núcleo). Mudando a escolha do conjunto gerador, pode-se, de fato, descrever o módulo como o quociente de algum Rn por um submódulo particularmente simples, e este é o teorema de estrutura.

O teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais geralmente aparece nas duas formas a seguir.

Decomposição em fatores invariantes Para todo módulo finitamente gerado M sobre um domínio de ideais principais R, existe uma sequência decrescente única de ideais próprios tal que M é isomorfo à soma de módulos cíclicos:

Os geradores dos ideais são únicos a menos da multiplicação por uma unidade e são chamados de fatores invariantes de M. Uma vez que os ideais devem ser próprios, esses fatores não devem ser eles próprios invertíveis (isso evita fatores triviais na soma), e a inclusão dos ideais significa que há a divisibilidade . A parte livre é visível na parte da decomposição correspondente aos fatores . Tais fatores, se houver, ocorrem no final da sequência.

Embora a soma direta seja determinada de forma única por M, o isomorfismo que fornece a própria decomposição não é único em geral. Por exemplo, se R for, de fato, um corpo, então todos os ideais que ocorrem devem ser zero, e obtém-se a decomposição de um espaço vetorial de dimensão finita em uma soma direta de subespaços unidimensionais; o número de tais fatores é fixo, nomeadamente a dimensão do espaço, mas há muita liberdade para escolher os próprios subespaços (se dim M > 1).

Os elementos não nulos, juntamente com o número de que são nulos, formam um conjunto completo de invariantes para o módulo. Explicitamente, isso significa que quaisquer dois módulos que compartilham o mesmo conjunto de invariantes são necessariamente isomorfos.

Alguns preferem escrever a parte livre de M separadamente:

onde os visíveis são não nulos, e f é o número de na sequência original que são 0.

Decomposição primária Todo módulo finitamente gerado M sobre um domínio de ideais principais R é isomorfo a um da forma

onde e os são ideais primários. Os são únicos (a menos da multiplicação por unidades).

Os elementos são chamados de divisores elementares de M. Em um DIP, ideais primários não nulos são potências de primos, e assim . Quando , o módulo indecomponível resultante é o próprio , e isso está dentro da parte de M que é um módulo livre.

Os somandos são indecomponíveis, portanto a decomposição primária é uma decomposição em módulos indecomponíveis e, assim, todo módulo finitamente gerado sobre um DIP é um módulo completamente decomponível. Como os DIPs são anéis noetherianos, isso pode ser visto como uma manifestação do teorema de Lasker-Noether.

Como antes, é possível escrever a parte livre (onde ) separadamente e expressar M como

onde os visíveis são não nulos.

Demonstrações Uma demonstração do teorema de estrutura foi formalizada na biblioteca Mathlib do Lean.

Uma demonstração prossegue da seguinte forma: Todo módulo finitamente gerado sobre um DIP é também finitamente apresentado porque um DIP é noetheriano, uma condição ainda mais forte do que a coerência. Considere uma apresentação, que é um mapeamento (relações para geradores), e coloque-a na forma normal de Smith. Isso produz a decomposição em fatores invariantes, e as entradas diagonais da forma normal de Smith são os fatores invariantes.

Outro esboço de uma demonstração: Denote por tM o submódulo de torção de M. Ele pode ser mergulhado como um submódulo de M e isso fornece uma sequência exata curta onde a transformação é uma projeção. é um módulo livre de torção finitamente gerado, e tal módulo sobre um DIP comutativo é um módulo livre de posto finito. Assim, é isomorfo a para um inteiro positivo n. Como todo módulo livre é um módulo projetivo, existe uma inversa à direita da transformação de projeção (basta elevar cada um dos geradores de a ). Pelo lema de cisão (cisão à esquerda), M se divide como uma soma direta interna de tM e algum submódulo F de M. Para um elemento primo p em R, podemos então falar de . Este é um submódulo de tM, e verifica-se que cada Np é uma soma direta de módulos cíclicos, e que tM é uma soma direta de Np para um número finito de primos distintos p. Juntando as duas etapas anteriores, M é decomposto em módulos cíclicos dos tipos indicados. Corolários Isso inclui a classificação de espaços vetoriais de dimensão finita como um caso especial, onde . Como os corpos não possuem ideais não triviais, todo espaço vetorial finitamente gerado é livre.

Tomar produz o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados.

Seja T um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita V sobre K. Tomar , a álgebra dos polinômios com coeficientes em K avaliada em T, fornece informações de estrutura sobre T. V pode ser visto como um módulo finitamente gerado sobre . O último fator invariante é o polinômio mínimo, e o produto dos fatores invariantes é o polinômio característico. Combinado com uma forma de matriz padrão para , isso produz várias formas canônicas: fatores invariantes + matriz companheira produzem a forma normal de Frobenius (também conhecida como forma canônica racional) decomposição primária + matriz companheira produzem a forma canônica racional primária decomposição primária + blocos de Jordan produzem a forma canônica de Jordan (esta última só se aplica sobre um corpo algebricamente fechado)

Unicidade Embora os invariantes (posto, fatores invariantes e divisores elementares) sejam únicos, o isomorfismo entre M e sua forma canônica não é único, e nem mesmo preserva a decomposição em soma direta. Isso ocorre porque existem automorfismos não triviais desses módulos que não preservam os somandos.

No entanto, tem-se um submódulo de torção canônico T e submódulos canônicos semelhantes correspondentes a cada fator invariante (distinto), os quais produzem uma sequência canônica:

Compare a série de composição no teorema de Jordan-Hölder.

Por exemplo, se , e é uma base, então é outra base, e a matriz de mudança de base não preserva o somando . No entanto, ela preserva o somando , pois este é o submódulo de torção (de forma equivalente aqui, os elementos de 2-torção).

Generalizações Grupos O teorema de Jordan-Hölder é um resultado mais geral para grupos finitos (ou módulos sobre um anel arbitrário). Nesta generalidade, obtém-se uma série de composição, em vez de uma soma direta.

O teorema de Krull-Schmidt e resultados relacionados fornecem as condições sob as quais um módulo tem algo como uma decomposição primária, uma decomposição como uma soma direta de módulos indecomponíveis na qual os somandos são únicos a menos da ordem.

Decomposição primária A decomposição primária é generalizada para módulos finitamente gerados sobre anéis noetherianos comutativos, e este resultado é chamado de teorema de Lasker-Noether.

Módulos indecomponíveis Em contraste, a decomposição única em submódulos indecomponíveis não se generaliza tanto, e a falha é medida pelo grupo de classes de ideais, que se anula para DIPs.

Para anéis que não são domínios de ideais principais, a decomposição única não precisa sequer valer para módulos sobre um anel gerado por dois elementos. Para o anel R = Z[√−5], tanto o módulo R quanto o seu submódulo M gerado por 2 e 1 + √−5 são indecomponíveis. Embora R não seja isomorfo a M, R ⊕ R é isomorfo a M ⊕ M; assim, as imagens dos somandos M fornecem submódulos indecomponíveis L1, L2 < R ⊕ R que fornecem uma decomposição diferente de R ⊕ R. A falha da fatoração única de R ⊕ R numa soma direta de módulos indecomponíveis está diretamente relacionada (através do grupo de classes de ideais) à falha da fatoração única de elementos de R em elementos irredutíveis de R.

No entanto, sobre um domínio de Dedekind o grupo de classes de ideais é o único obstáculo, e o teorema de estrutura generaliza-se para módulos finitamente gerados sobre um domínio de Dedekind com pequenas modificações. Ainda há uma parte de torção única, com um complemento livre de torção (único a menos de isomorfismo), mas um módulo livre de torção sobre um domínio de Dedekind não é mais necessariamente livre. Módulos livres de torção sobre um domínio de Dedekind são determinados (a menos de isomorfismo) pelo posto e pela classe de Steinitz (que assume valores no grupo de classes de ideais), e a decomposição numa soma direta de cópias de R (módulos livres de posto um) é substituída por uma soma direta em módulos projetivos de posto um: os somandos individuais não são determinados de forma única, mas a classe de Steinitz (da soma) o é.

Módulos não finitamente gerados De modo semelhante, para módulos que não são finitamente gerados, não se pode esperar uma decomposição tão agradável: até mesmo o número de fatores pode variar. Existem Z-submódulos de Q4 que são simultaneamente somas diretas de dois módulos indecomponíveis e somas diretas de três módulos indecomponíveis, mostrando que o análogo da decomposição primária não pode ser válido para módulos infinitamente gerados, mesmo sobre os inteiros, Z.

Outra questão que surge com módulos não finitamente gerados é que existem módulos livres de torção que não são livres. Por exemplo, considere o anel Z de inteiros. Então Q é um Z-módulo livre de torção que não é livre. Outro exemplo clássico de tal módulo é o grupo de Baer-Specker, o grupo de todas as sequências de inteiros sob adição termo a termo. Em geral, a questão de quais grupos abelianos livres de torção infinitamente gerados são livres depende de quais grandes cardinais existem. Uma consequência é que qualquer teorema de estrutura para módulos infinitamente gerados depende de uma escolha de axiomas da teoria dos conjuntos e pode ser inválido sob uma escolha diferente.

Referências

Bibliografia

Categoria:Teoremas na álgebra abstrata Categoria:Teoria dos módulos