Na teoria de gauge e na física matemática, uma teoria quântica de campos topológica (ou teoria de campos topológica ou TQFT, do inglês Topological quantum field theory) é uma teoria quântica de campos que calcula invariantes topológicos.
Embora as TQFTs tenham sido inventadas por físicos, elas também são de grande interesse matemático, estando relacionadas, entre outras coisas, à teoria dos nós e à teoria das variedades de dimensão 4 na topologia algébrica, bem como à teoria dos espaços de moduli na geometria algébrica. Donaldson, Jones, Witten e Kontsevich ganharam Medalhas Fields por trabalhos matemáticos relacionados à teoria de campos topológica.
Na física da matéria condensada, as teorias quânticas de campos topológicas são as teorias efetivas de baixa energia de estados topologicamente ordenados, como os estados do efeito Hall quântico fracionário, estados condensados de rede de cordas (string-net), e outros estados de líquidos quânticos fortemente correlacionados.
Visão geral Numa teoria de campos topológica, as funções de correlação são independentes da métrica, de modo que permanecem inalteradas sob qualquer deformação do espaço-tempo e são, portanto, invariantes topológicos.
As teorias de campos topológicas não são muito interessantes no espaço de Minkowski plano usado na física de partículas. O espaço de Minkowski pode ser contraído a um ponto, então uma TQFT aplicada ao espaço de Minkowski resulta em invariantes topológicos triviais. Consequentemente, as TQFTs são geralmente aplicadas a espaços-tempos curvos, como, por exemplo, em superfícies de Riemann. A maioria das teorias de campos topológicas conhecidas é definida em espaços-tempos de dimensão menor que cinco. Parece que existem algumas teorias em dimensões superiores, mas elas não são muito bem compreendidas.
Acredita-se que a gravidade quântica seja independente de fundo (em um sentido adequado), e as TQFTs fornecem exemplos de teorias quânticas de campos independentes de fundo. Isso tem impulsionado investigações teóricas contínuas nesta classe de modelos.
(Aviso: Costuma-se dizer que as TQFTs têm apenas um número finito de graus de liberdade. Esta não é uma propriedade fundamental. Acontece de ser verdade na maioria dos exemplos que físicos e matemáticos estudam, mas não é estritamente necessário. Um modelo sigma topológico tem como alvo um espaço projetivo de dimensão infinita, e se tal coisa pudesse ser definida, teria um número infinito e enumerável de graus de liberdade).
Modelos específicos As teorias de campos topológicas conhecidas dividem-se em duas classes gerais: TQFTs do tipo Schwarz e TQFTs do tipo Witten. As TQFTs de Witten também são frequentemente referidas como teorias de campos coomológicas. Veja .
TQFTs do tipo Schwarz Nas TQFTs do tipo Schwarz, as funções de correlação ou funções de partição do sistema são calculadas pela integral de caminho de funcionais de ação independentes da métrica. Por exemplo, no modelo BF, o espaço-tempo é uma variedade bidimensional , e os observáveis são construídos a partir de uma 2-forma , um escalar auxiliar e suas derivadas. A ação (que determina a integral de caminho) é
A métrica do espaço-tempo não aparece em lugar nenhum da teoria, portanto a teoria é explicitamente topologicamente invariante. O primeiro exemplo apareceu em 1977 e deve-se a A. Schwarz; o seu funcional de ação é:
Outro exemplo mais famoso é a teoria de Chern-Simons, que pode ser aplicada a invariantes de nós. Em geral, as funções de partição dependem de uma métrica, mas os exemplos acima são independentes da métrica.
TQFTs do tipo Witten O primeiro exemplo de TQFTs do tipo Witten apareceu no artigo de Witten em 1988 , a saber, a teoria de Yang-Mills topológica em quatro dimensões. Embora o seu funcional de ação contenha a métrica do espaço-tempo , após um twist (torção) topológico ele revela-se independente da métrica. A independência do tensor de energia-momento do sistema em relação à métrica depende de o operador BRST ser fechado. Seguindo o exemplo de Witten, muitos outros exemplos podem ser encontrados na teoria de cordas topológica.
As TQFTs do tipo Witten surgem se as seguintes condições forem satisfeitas: A ação da TQFT possui uma simetria, isto é, se denota uma transformação de simetria (por exemplo, uma derivada de Lie), então é válido. A transformação de simetria é exata, isto é, . Existem observáveis que satisfazem para todo . O tensor de energia-momento (ou grandezas físicas semelhantes) tem a forma para um tensor arbitrário .
Como exemplo : Dado um campo de 2-formas com o operador diferencial que satisfaz , então a ação possui uma simetria se , uma vez que
Ademais, o seguinte é válido (sob a condição de que seja independente de e atue de forma semelhante a uma derivada funcional):
A expressão é proporcional a com outra 2-forma .
Agora, quaisquer médias de observáveis para a medida de Haar correspondente são independentes do campo "geométrico" e são, portanto, topológicas: .
A terceira igualdade usa o fato de que e a invariância da medida de Haar sob transformações de simetria. Como é apenas um número, a sua derivada de Lie anula-se.
Formulações matemáticas
Axiomas originais de Atiyah–Segal Michael Atiyah sugeriu um conjunto de axiomas para a teoria quântica de campos topológica, inspirado nos axiomas propostos por Graeme Segal para a teoria de campos conforme (posteriormente, a ideia de Segal foi resumida em ), e no significado geométrico da supersimetria de Witten em . Os axiomas de Atiyah são construídos pela colagem da fronteira com uma transformação diferenciável (topológica ou contínua), enquanto os axiomas de Segal são para transformações conformes. Esses axiomas têm sido relativamente úteis para tratamentos matemáticos das TQFTs do tipo Schwarz, embora não seja claro que eles capturem toda a estrutura das QFTs do tipo Witten. A ideia básica é que uma TQFT é um functor de uma certa categoria de cobordismos para a categoria dos espaços vetoriais.
Existem, na verdade, dois conjuntos diferentes de axiomas que poderiam ser razoavelmente chamados de axiomas de Atiyah. Esses axiomas diferem basicamente no fato de se aplicarem a uma TQFT definida num único espaço-tempo riemanniano / lorentziano fixo de dimensão ou a uma TQFT definida em todos os espaços-tempos de dimensão de uma só vez.
Seja um anel comutativo com unidade (para quase todos os propósitos do mundo real, teremos ou ). Atiyah propôs originalmente os axiomas de uma teoria quântica de campos topológica (TQFT) na dimensão definida sobre um anel base da seguinte forma: Um -módulo finitamente gerado associado a cada variedade suave fechada e orientada de dimensão (correspondendo ao axioma de homotopia), Um elemento associado a cada variedade suave orientada (com fronteira) de dimensão (correspondendo a um axioma aditivo).
Estes dados estão sujeitos aos seguintes axiomas (4 e 5 foram adicionados por Atiyah): é functorial em relação aos difeomorfismos que preservam a orientação de e . é involutiva, ou seja, onde é com orientação oposta e denota o módulo dual. é multiplicativa. para a variedade vazia de dimensão e para a variedade vazia de dimensão . (o axioma hermitiano). Se de modo que pode ser visto como uma transformação linear entre espaços vetoriais hermitianos, então isso é equivalente a dizer que é a adjunta de .
Observação. Se para uma variedade fechada virmos como um invariante numérico, então para uma variedade com fronteira devemos pensar em como um invariante "relativo". Seja um difeomorfismo que preserva a orientação e identifique as extremidades opostas de por . Isso fornece uma variedade e os nossos axiomas implicam que
onde é o automorfismo induzido de .
Observação. Para uma variedade com fronteira , podemos sempre formar o dobro , que é uma variedade fechada. O quinto axioma mostra que
onde no lado direito calculamos a norma na métrica hermitiana (possivelmente indefinida).
Relação com a física Fisicamente (2) + (4) estão relacionados com a invariância relativística, enquanto (3) + (5) são indicativos da natureza quântica da teoria.
destina-se a indicar o espaço físico (geralmente, para a física padrão) e a dimensão extra em é o tempo "imaginário". O espaço é o Espaço de Hilbert da teoria quântica e uma teoria física, com um hamiltoniano , terá um operador de evolução temporal ou um operador de "tempo imaginário" . A principal característica das QFTs topológicas é que , o que implica que não há dinâmicas reais ou propagação ao longo do cilindro . No entanto, pode haver uma "propagação" não trivial (ou amplitudes de tunelamento) de para através de uma variedade interveniente com ; isso reflete a topologia de .
Se , então o vetor distinto no espaço de Hilbert é pensado como o estado de vácuo definido por . Para uma variedade fechada , o número é o valor esperado do vácuo. Em analogia com a mecânica estatística, também é chamado de função de partição.
A razão pela qual uma teoria com um hamiltoniano zero pode ser sensatamente formulada reside na abordagem da integral de caminho de Feynman para a QFT. Isso incorpora a invariância relativística (que se aplica a "espaços-tempos" gerais de dimensão ) e a teoria é formalmente definida por um lagrangiano adequado — um funcional dos campos clássicos da teoria. Um lagrangiano que envolve apenas derivadas primeiras no tempo formalmente leva a um hamiltoniano zero, mas o próprio lagrangiano pode ter características não triviais que se relacionam com a topologia de .
Exemplos de Atiyah Em 1988, M. Atiyah publicou um artigo no qual descreveu muitos novos exemplos de teoria quântica de campos topológica que eram considerados naquela época . Ele contém alguns novos invariantes topológicos juntamente com algumas novas ideias: o invariante de Casson, o invariante de Donaldson, a teoria de Gromov, a homologia de Floer e a teoria de Jones-Witten.
Neste caso, consiste em finitos pontos. A um único ponto associamos um espaço vetorial e a -pontos o produto tensorial de fatores: . O grupo simétrico atua em . Uma maneira padrão de obter o espaço de Hilbert quântico é começar com uma variedade simplética clássica (ou espaço de fase) e então quantizá-la. Vamos estender a um grupo de Lie compacto e considerar órbitas "integráveis" para as quais a estrutura simplética provém de um fibrado de linhas, então a quantização leva às representações irredutíveis de . Esta é a interpretação física do teorema de Borel-Weil ou do teorema de Borel-Weil-Bott. O lagrangiano dessas teorias é a ação clássica (holonomia do fibrado de linhas). Assim, as QFTs topológicas com relacionam-se naturalmente à teoria de representação clássica dos grupos de Lie e ao grupo simétrico.
Devemos considerar condições de contorno periódicas dadas por laços fechados numa variedade simplética compacta . Junto com a holonomia de , tais laços — como os usados no caso de como um lagrangiano — são então usados para modificar o hamiltoniano. Para uma superfície fechada , o invariante da teoria é o número de mapas pseudo-holomorfos no sentido de Gromov (eles são mapas holomorfos comuns se for uma variedade de Kähler). Se este número se tornar infinito, ou seja, se houver "moduli", então devemos fixar dados adicionais em . Isso pode ser feito escolhendo alguns pontos e então observando os mapas holomorfos com restringido a estar num hiperplano fixo. escreveu o lagrangiano relevante para esta teoria. Floer deu um tratamento rigoroso, a saber, a homologia de Floer, baseado nas ideias da teoria de Morse de Witten; para o caso em que as condições de contorno estão sobre o intervalo em vez de serem periódicas, o caminho inicial e os pontos finais situam-se em duas subvariedades lagrangianas fixas. Esta teoria desenvolveu-se como a teoria dos invariantes de Gromov-Witten.