mini|450px|Projeção horizontal (planta) e vertical (alçado) no Método de Monge (dupla projeção ortogonal)
O Método de Monge (ou dupla projeção ortogonal) é um método fundamental da Geometria Descritiva. Nele, um ponto do espaço é projetado ortogonalmente sobre dois planos perpendiculares entre si (planos de projeção) através de duas projeções paralelas ortogonais.
Habitualmente, o plano: é horizontal e designa-se por plano horizontal de projeção (onde se obtém a planta); é vertical e designa-se por plano vertical de projeção (onde se obtém o alçado).
A reta de interseção é a Linha de Terra (ou eixo x). As imagens resultantes são a projeção horizontal (planta) e a projeção vertical (alçado) de .
Nelas estão contidas todas as informações espaciais do ponto . Se os dois planos forem integrados num sistema de coordenadas x-y-z, as informações surgem como valores de abcissa, afastamento e cota.
A extensão deste método para um terceiro plano de projeção leva à projeção de três planos (tripla projeção ortogonal). Esta é aplicada quando é necessário representar sólidos ou figuras complexas, tornando a leitura do desenho mais clara.
Tais traçados já eram conhecidos desde a Antiguidade. No entanto, foi a sistematização de Gaspard Mongever Geometrie descriptive. p. 10 que permitiu resolver os problemas essenciais da geometria espacial de forma gráfica e simplificada. Monge rebateu o plano vertical sobre o plano horizontal em torno da Linha de Terra, utilizando a folha de desenho como plano único. A correspondência espacial de e é feita na superfície de desenho através de uma linha de chamada (perpendicular à Linha de Terra). Diz-se que a projeção horizontal e a vertical estão associadas uma à outra pela respetiva linha de chamada.
Projeções de vários pontos 450px|mini|Método de Monge: várias posições de pontos nos diferentes diedros Como a clareza da posição de pontos na dupla projeção é menor do que numa imagem com efeito espacial (Axonometria), é necessária prática para visualizar a posição real de um ponto com base nas suas projeções. Normalmente, espera-se que a planta de um ponto esteja abaixo e o alçado acima da Linha de Terra (1.º Diedro). Como mostram os exemplos na imagem, tal depende da localização do ponto no espaço. No entanto, procura-se sempre organizar o desenho de forma a separar visualmente as vistas.
Retas 450px|mini|Dupla projeção ortogonal de uma reta 450px|mini|Várias posições de retas em relação aos planos de projeção 450px|mini|Traços da reta: pontos de interseção com os planos coordenados Uma reta é univocamente determinada por dois pontos. Assim, as suas projeções são determinadas pelas projeções de dois dos seus pontos.
Retas de nível e retas frontais Existem várias posições particulares de retas com designações específicas (ver imagem): Uma reta de nível (ou horizontal) é paralela ao plano horizontal . Uma reta frontal é paralela ao plano vertical . Uma reta de frente-e-horizontal é paralela a ambos os planos. Uma reta vertical é perpendicular ao plano horizontal (projetante horizontal). Uma reta de topo é perpendicular ao plano vertical (projetante vertical). Uma reta de perfil está contida num plano perpendicular à Linha de Terra. Estas retas exigem uma terceira projeção (lateral) para a resolução de problemas, pois ambas as projeções coincidem na mesma linha de chamada.
As retas de nível e frontais são fundamentais para determinar a Verdadeira grandeza, pois: Um segmento numa reta de nível aparece na planta em verdadeira grandeza. Um segmento numa reta frontal aparece no alçado em verdadeira grandeza.
Traços da reta São os pontos de interseção da reta com os planos de projeção (frequentemente designados por e ). Aplica-se sempre: (traço horizontal) tem cota zero; (traço vertical) tem afastamento zero. As projeções homónimas cruzam a Linha de Terra nos pontos correspondentes (ver imagem).
Planos Descrição de um plano e seus traços 450px|mini|Projeção de um plano: traços e retas principais mini|a) Normal no ponto b) Perpendicular do ponto ao plano (definido pelos traços ) Um plano é geralmente representado na geometria descritiva por um triângulo ou por duas retas que se cruzam. Frequentemente, utilizam-se os traços do plano (retas de interseção do plano com os planos de projeção, e ).
Propriedades úteis: As retas frontais de um plano são paralelas ao seu traço vertical. As retas de nível de um plano são paralelas ao seu traço horizontal.
Perpendicularidade e Distância A planta de uma perpendicular a um plano é perpendicular às retas de nível (e ao traço horizontal) do plano. O alçado de uma perpendicular a um plano é perpendicular às retas frontais (e ao traço vertical) do plano.
Para determinar a distância de um ponto a um plano, interseta-se a perpendicular que passa por com o plano. O ponto resultante é o pé da perpendicular . A verdadeira grandeza do segmento é a distância procurada.
Mudança de Planos 450px|mini|Mudança de plano (novo alçado: ) 400px|mini|Mudança de plano de um dodecaedro rhomboide
Na geometria descritiva, a introdução de novos planos de projeção permite resolver problemas complexos. Exemplo: para encontrar a verdadeira grandeza de uma face oblíqua de um poliedro.
Introdução de um novo plano vertical Dado: Ponto e uma nova Linha de Terra . Procurado: Nova projeção vertical . situa-se na nova linha de chamada (perpendicular a ). A distância de à nova Linha de Terra é igual à cota original (distância de a ).
Ver também Método das cotas Projeção de três planos
Bibliografia Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 10. Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 40. Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 59.
Ligações externas Darstellende Geometrie für Architekten (Geometria Descritiva para Arquitetos) (PDF; 1,5 MB). Sebenta (Uni Darmstadt), pp. 23–34 (em alemão). (Fundamentos e Elementos de Tecnologia de Máquinas de Transporte) (PDF; 493 kB) TU Dresden (em alemão).
Categoria:Geometria descritiva