Ars Conjectandi (em latim, "Arte da Conjectura") é um livro de combinatória e probabilidade matemática escrito por Jakob Bernoulli e publicado em 1713, oito anos após sua morte, por seu sobrinho Nicolau I Bernoulli. O trabalho consolidou, além de diversos tópicos da combinatória, muitas ideias centras na teoria das probabilidades, como a primeira versão da lei dos grandes números, e apresentou problemas que hoje são conhecidos como "twelvefold way'. Assim, segundo a maioria dos historiadores da matemática, Ars Conjectandi compreende um marco, não só para a área de probabilidade, mas para a combinatória. Devido à sua importância, o livro apresentou um grande impacto nos matemáticos contemporâneos ou futuros, como Abraham de Moivre.
Bernoulli escreveu o livro entre 1684 e 1689, incluindo trabalhos de matemáticos como Christiaan Huygens, Girolamo Cardano, Pierre de Fermat e Blaise Pascal. Bernoulli incorporou tópicos fundamentais da combinatória, como sua teoria de permutações e combinações, a derivação e as propriedades dos números de Bernoulli e valor esperado.
Contexto esquerda|miniaturadaimagem|Christiaan Huygens publicou o primeiro tratado sobre probabilidade Na Europa, a área da probabilidade começou a ser desenvolvida no séxulo XVI com o trabalho de Girolamo Cardano, cujo interesse nesse ramo da matemática era justificado por seu hábito de apostar. Cardano formulou o que é atualmente considerada a clássica definição de probabilidade: se um evento tem um total de a resultados possíveis e seleciona-se qualquer b desses resultados tal que b ≤ a, a probabilidade de b ocorrer é de b/a. Contudo, sua influência real nos trabalhos de matemática não foi grande, uma vez que apenas escreveu um pequeno tomo sobre o conteúdo chamado Liber de ludo aleae ("Livro de Jogos de Probabilidades"), que foi publicado postumamente em 1663.
Historiadores geralmente citam o ano de 1654 como a data em que se iniciou o desenvolvimento da probabilidade moderna; ano em que dois matemáticos conhecidos, Blaise Pascal e Pierre de Fermat, começaram a discutir acerca do assunto. A discussão se deu porque um apostador de Paris, chamado Antoine Gombaud, enviou a Pascal e outros matemáticos diversas perguntas acerca da aplicabilidade prática de algumas teorias. Em particular, ele levantou o problema dos pontos, referente a um jogo teórico de dois jogadores que apresentam chances iguais de ganhar a cada rodada, mas o prêmio teria de ser dividido aos dois jogadores devido a circunstâncias externas que interrompem o jogo. O problema, que havia sido levantado, por exemplo, por Luca Pacioli em 1494 com o livro Summa de arithmetica, foi debatido por Pascal e Fermat e interessou outros matemáticos, como Christiaan Huygens, cujo trabalho De ratiociniis in aleae ludo ("Cálculos de Jogos de Chance") apareceu no último capítulo de Exercitationes Matematicae de Frans van Schooten em 1657. Em 1665, Pascal postumamente publicou seus resultados sobre o Triângulo de Pascal. Referindo ao triângulo como "triângulo aritmético" no trabalho Traité du triangle arithmétique, o conceito se tornou importante para a combinatória.
Em 1662, o livro Lógica de Port-Royal foi publicado anonimamente em Paris. Provavelmente, seus autores eram Antoine Arnauld e Pierre Nicole, dois jansenistas que trabalharam com Blaise Pascal. O título em latim do livro era Ars cogitandi, que foi um livro de lógica de sucesso na época. Ars cogitandi consistia em quatro livros, com o último apresentando a tomada de decisão sob incertezas, realizando analogias com apostas e introduzindo explicitamente o conceito de probabilidade quantitativa.
No campo da estatística e da probabilidade aplicada, John Graunt publicou Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality no mesmo ano, o que iniciou a disciplina de demografia. Esse trabalho, somado a outros elementos, apresentou uma estimativa estatística sobre a população de Londres, produziu a primeira tábua de mortalidade, apresentou as probabilidades da sobrevivência de diferentes faixas etárias, examinou as diferentes causas de morte — notando que a taxa anual de suicídios e de mortes por acidentes é constante — e comentou sobre a proporção de sexo.
A utilidade e as interpretações das tábuas produzidas por Graunt foram discutidas em uma série de correspondências entre Ludwig e Christiaan Huygens em 1667, em que eles compreenderam a diferença entre estimativas baseadas na média e na mediana, e Christiaan construiu um gráfico utilizando os dados de Graunt, formando uma curva suave e criando, por conseguinte, a primeira distribuição probabilística contínua. Contudo, suas correspondências nunca foram publicadas. Em seguida, Johan de Witt, Grande Pensionário da Holanda na época, publicou trabalhos semelhantes no seu trabalho Waerdye van Lyf-Renten de 1671, em que utilizava de conceitos matemáticos para determinar a esperança de vida para razões políticas. Com esse trabalho, foi demonstrado que esse ramo da matemática relacionado à amostragem poderia apresentar aplicações práticas significativas. O trabalho de Witt não foi amplamente distribuído pela Holanda, possivelmente devido à sua queda do poder e por sua execução pelo povo em 1672.
Além da contribuição prática de Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality e Waerdye van Lyf-Renten, ambos os trabalhos também expuseram a ideia fundamental de que a probabilidade também poderia ser atribuída a eventos que não possuem simetria física, como a probabilidade de morrer em determinada idade, diferentemente do que ocorre, por exemplo, no lançamento de um dado ou de uma moeda, que pode ser avaliado simplesmente contando a frequência de ocorrência. Portanto, a probabilidade pode ser mais do que mera combinatória.
Desenvolvimento de Ars Conjectandi
Referências de conteúdo e períodos de desenvolvimento miniaturadaimagem|Retrato de Jakob Bernoulli em 1687 Com o despertar de todos esses pioneiros, Bernoulli produziu muitos resultados contidos em Ars Conjectandi entre 1684 e 1689 e os registrou em seu diário Meditationes. Quando começou o seu trabalho em 1684, aos 30 anos, apesar de estar intrigado por problemas de combinatória e de probabilidade, Bernoulli ainda não tinha lido nem o trabalho de Pascal sobre o "triângulo aritmético", nem sobre o trabalho de Witt acerca das aplicações da teoria das probabilidades. Bernoulli pediu uma cópia desses trabalhos para seu conhecido Gottfried Leibniz, que falhou em obter uma cópia do trabalho de Witt, mas pôde fornecer a obra de Pascal e Huygens. Dessa forma, Bernoulli construiu Ars Conjectandi sobre fundamentos de Pascal e Huygens. Além desses, Bernoulli certamente detinha ou tinha os conhecimentos do conteúdo a partir de fontes secundárias dos trabalhos La Logique ou l’Art de Penser e Bills of Mortality, uma vez que ele faz referências explícitas às obras.
O progresso através do tempo de Bernoulli pode ser acompanhado por intermédio de Meditationes. Três períodos podem ser divididos de acordo com o trabalho do autor. O primeiro período, de 1684 a 1685, é devotado ao estudo de problemas de jogos de chance levantados por Christiaan Huygens; no segundo, de 1685 a 1686, suas investigações passam a abrangir processos em que as probabilidades não são conhecidas em um primeiro momento, mas precisam ser determinadas em um momento depois; e, finalmente, no último período, de 1687 a 1689, o problema de mensuração das probabilidades é resolvido.
Desde o início, Bernoulli desejava que seu trabalho demonstrasse que a combinatória e a teoria da probabilidade teriam inúmeras aplicações práticas em todas as facetas da sociedade — dando continuidade, assim, aos trabalhos de Graunt e de Witt — e serviriam como um método rigoroso de raciocínio lógico em situações com evidências insuficientes, como em tribunais e em julgamentos morais. Bernoulli também esperava que a teoria de probabilidade poderia prover maior compreensão e consistência a métodos de raciocínio, principalmente para situações complexas.
Outras publicações de Bernoulli sobre probabilidade Antes da publicação de Ars Conjectandi, Bernoulli produziu diversos outros tratados relacionados com a probabilidade:
Parallelismus ratiocinii logici et algebraici, Basel, 1685. Na página 314 de Journal des Sçavans 1685 (26.VIII), aparecem dois problemas sobre a probabilidade de dois jogadores ganharem um jogo de dados. Soluções foram publicadas no artigo Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione Problematis de Sorte Alearum nas páginas 219 a 223 de Acta Eruditorum 1690 (Maio). Além disso, Leibniz publicou uma solução no mesmo jornal nas páginas 387 a 390. As teses XXXI e XL de Theses logicae de conversione et oppositione enunciationum, uma palestra pública realizada em Basel no dia 12 de fevereiro de 1686, são relacionadas com a teoria das probabilidades. De Arte Combinatoria Oratio Inauguralis, 1692. Uma carta à un amy sur les parties du jeu de paume, isto é, uma carta a um amigo sobre sets de uma partida de tênis, publicada em 1713 junto com Ars Conjectandi.
Escolha do título Além disso, o título Ars Conjectandi foi escolhido, pois referenciaria o conceito de ars inveniendi, destacado em Mathesis universalis por Leibniz, da escolástica, que providenciaria uma ligação simbólica ao pragmatismo que desejava, além de se tornar uma extensão de Ars Cogitandi.
Para Bernoulli, a "arte da conjectura" é definida no Capítulo II da Parte IV de sua obra Ars Conjectandi: A arte de mensurar, o mais preciso possível, a probabilidades das coisas, com o objetivo de ser sempre possível escolher ou seguir nossos próprios julgamentos e ações, qual possibilidade foi determinada como a melhor, mais satisfatória, mais segura ou mais aventureira.
Publicação post mortem Entre 1703 e 1705, Leibniz trocou correspondências com Jakob após tomar ciência de suas descobertas na área de probabilidade através do irmão de Jakob, Johann Bernoulli. Dessa forma, Leibniz ofereceu críticas construtivas sobre a lei dos grandes números de Bernoulli.
Apesar que a maior parte do conteúdo apresentado em Ars Conjectandi estivesse presente já em 1960, Bernoulli continuou trabalhando na obra. Contudo, o desenvolvimento do livro foi interrompido com a morte de Bernoulli em 1705. Dessa forma, o livro está essencialmente incompleto se comparado à visão original do autor. Jakob, porém, tinha uma desavença com seu irmão mais novo Johann — considerada a pessoa mais competente a levar adiante o projeto de Jakob —, o que impediu Johann de ter acesso ao manuscrito. Os próprios filhos de Jakob não eram matemáticos e não poderiam editar e publicar o manuscrito, além disso, sua família, compreendendo a importância da obra, tinham receio de alguém roubar o trabalho de Jakob. Apenas o sobrinho de Jacob, Nicolaus, conseguiu publicar o manuscrito em 1713, 7 anos após a morte do autor.
Conteúdo miniaturadaimagem|Página de Ars Conjectandi exibindo a fórmula de Bernoulli para a soma de integrais. A última linha apresenta os números de Bernoulli O trabalho de Bernoulli, originalmente publicado em latim, é dividido em quatro partes. A obra aborda sobre a teoria das permutações e da combinatória, as fundações modernas da combinatória e conjuntos de problemas conhecidos como "twelvefold way". Ars Conjectandi também discute sobre sua motivação e aplicação de uma sequência de números que é mais próxima à teoria dos números e do que a probabilidade. Esses números de Bernoulli, nomeados em sua homenagem, são uma de suas maiores conquistas.
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