Em física matemática, os coeficientes de Clebsch–Gordan são os coeficientes de expansão de autoestados de momento angular total em uma base de produto tensorial desacoplada. Matematicamente, eles especificam a decomposição do produto tensorial de duas representações irredutíveis em uma soma direta de representações irredutíveis, onde o tipo e as multiplicidades dessas representações irredutíveis são conhecidos abstratamente. O nome deriva dos matemáticos alemães Alfred Clebsch (1833–1872) e Paul Gordan (1837–1912), que encontraram um problema equivalente na teoria dos invariantes.
A generalização para SU(3) dos coeficientes de Clebsch–Gordan é útil devido à sua utilidade na caracterização de decaimentos hadrônicos, onde existe uma simetria sabor-SU(3) (o caminho óctuplo) que conecta os três quarks leves: up, down e strange.
Grupo SU(3)
O grupo especial unitário SU é o grupo das matrizes unitárias cujo determinante é igual a 1.P. Carruthers (1966) Introduction to Unitary symmetry, Interscience. online. Este conjunto é fechado sob multiplicação de matrizes. Todas as transformações caracterizadas pelo grupo especial unitário deixam as normas inalteradas. A simetria aparece na simetria de sabor dos quarks leves (entre os quarks up, down e strange), denominada caminho óctuplo. O mesmo grupo atua na cromodinâmica quântica sobre os números quânticos de cor dos quarks que formam a representação fundamental (tripleto) do grupo.
O grupo é um subgrupo do grupo , o grupo de todas as matrizes unitárias 3×3. A condição de unitariedade impõe nove relações de restrição sobre os 18 graus de liberdade totais de uma matriz complexa 3×3. Assim, a dimensão do grupo é 9. Além disso, multiplicar um U por uma fase, , deixa a norma invariante. Portanto, pode ser decomposto em um produto direto . Devido a essa restrição adicional, tem dimensão 8.
Geradores da álgebra de Lie Toda matriz unitária pode ser escrita na forma
onde H é hermitiana. Os elementos de podem ser expressos como
onde são as 8 matrizes linearmente independentes que formam a base da álgebra de Lie de , na representação tripleto. A condição de determinante unitário exige que as matrizes tenham traço nulo, pois .
Uma base explícita na representação fundamental, 3, pode ser construída em analogia à álgebra das matrizes de Pauli dos operadores de spin. Ela consiste nas matrizes de Gell-Mann,
Estes são os geradores do grupo na representação tripleto, e eles são normalizados como
As constantes de estrutura da álgebra de Lie do grupo são dadas pelos comutadores de
onde são as constantes de estrutura completamente antissimétricas e são análogas ao símbolo de Levi-Civita de .
Em geral, elas se anulam, a menos que contenham um número ímpar de índices do conjunto {2,5,7}, correspondendo aos antissimétricos. Observe que .
Além disso,
onde são os coeficientes constantes completamente simétricos. Eles se anulam se o número de índices do conjunto for ímpar. Em termos das matrizes,
Base padrão
Uma base padrão ligeiramente diferente normalizada consiste nos operadores F-spin, que são definidos como para o 3, e são utilizados para aplicar a qualquer representação desta álgebra.
A base de Cartan–Weyl da álgebra de Lie de é obtida por outra mudança de base, onde se define,Introduction to Elementary Particles- David J. Griffiths, , Capítulo-1, Páginas 33-38
Devido aos fatores de i nessas fórmulas, esta é tecnicamente uma base para a complexificação da álgebra de Lie su(3), ou seja, sl(3,C). A base anterior é então essencialmente a mesma usada no livro de Hall. Seção 6.2
Álgebra de comutação dos geradores A forma padrão dos geradores do grupo satisfaz as relações de comutação dadas abaixo,
Todas as outras relações de comutação seguem da conjugação hermitiana desses operadores.
Essas relações de comutação podem ser usadas para construir as representações irredutíveis do grupo .
As representações do grupo estão no plano bidimensional. Aqui, representa a componente z do isospin e é a hipercarga, e eles compreendem a subálgebra de Cartan (abeliana) de toda a álgebra de Lie. O número máximo de geradores comutantes mutuamente de uma álgebra de Lie é chamado de seu posto: tem posto 2. Os 6 geradores restantes, os operadores escada ±, correspondem às 6 raízes dispostas na rede hexagonal bidimensional da figura.
Operadores de Casimir
O operador de Casimir é um operador que comuta com todos os geradores do grupo de Lie. No caso de , o operador quadrático é o único operador independente desse tipo.
No caso do grupo , por outro lado, dois operadores de Casimir independentes podem ser construídos, um quadrático e um cúbico: são eles,
Esses operadores de Casimir servem para rotular as representações irredutíveis da álgebra do grupo de Lie , porque todos os estados em uma dada representação assumem o mesmo valor para cada operador de Casimir, que atua como a identidade em um espaço com a dimensão dessa representação. Isso ocorre porque os estados em uma dada representação são conectados pela ação dos geradores da álgebra de Lie, e todos os geradores comutam com os operadores de Casimir.
Por exemplo, para a representação tripleto, , o autovalor de é 4/3, e o de é 10/9.
Mais geralmente, a partir da fórmula de Freudenthal, para genérico, o autovalorVer eq. 3.65 em de é .
O autovalor ("coeficiente de anomalia") de éPais, ibid. (3.66)
É uma função ímpar sob a troca . Consequentemente, ele se anula para representações reais , como a adjunta, , ou seja, tanto quanto as anomalias se anulam para ela.
Representações do grupo SU(3)
As representações irredutíveis do SU(3) são analisadas em vários lugares, incluindo o livro de Hall. Capítulo 6 Como o grupo SU(3) é simplesmente conexo, Proposição 13.11 as representações estão em correspondência biunívoca com as representações de sua álgebra de Lie Teorema 5.6 su(3), ou a complexificação Seção 3.6 de sua álgebra de Lie, sl(3,C).
Rotulamos as representações como D(p,q), com p e q sendo inteiros não negativos, onde em termos físicos, p é o número de quarks e q é o número de antiquarks. Matematicamente, a representação D(p,q) pode ser construída tomando o produto tensorial de p cópias da representação padrão tridimensional e q cópias da dual da representação padrão e, em seguida, extraindo um subespaço invariante irredutível.Ver a demonstração da Proposição 6.17 em (Veja também a seção de tableaux de Young abaixo: é o número de colunas de uma caixa, "quarks", e o número de colunas de duas caixas, "antiquarks").
Outra maneira de pensar sobre os parâmetros p e q é como os autovalores máximos das matrizes diagonais . (Os elementos e são combinações lineares dos elementos e , mas normalizados de modo que os autovalores de e sejam inteiros.) Isso deve ser comparado à teoria de representação de SU(2), onde as representações irredutíveis são rotuladas pelo autovalor máximo de um único elemento, h.
As representações têm dimensão Teorema 6.27 e Exemplo 10.23
seus caracteres irredutíveis são dados por Nota: Há um erro de digitação na citação final do resultado - na Equação 10.121 o primeiro deveria ser um .
e a correspondente medida de Haar é
tal que e ,
Um múltipleto de pode ser completamente especificado por cinco rótulos, dois dos quais, os autovalores dos dois operadores de Casimir, são comuns a todos os membros do múltipleto. Isso generaliza os meros dois rótulos para os múltipletos de , a saber, os autovalores de seu operador de Casimir quadrático e de 3.
Uma vez que , podemos rotular diferentes estados pelos autovalores dos operadores e , , para um dado autovalor do operador de Casimir do isospin. A ação dos operadores sobre esses estados é dada por
Aqui,
e
Todos os outros estados da representação podem ser construídos pela aplicação sucessiva dos operadores escada e e pela identificação dos estados base que são aniquilados pela ação dos operadores de descida. Esses operadores podem ser imaginados como flechas cujas extremidades formam os vértices de um hexágono (figura dos geradores acima).
Coeficiente de Clebsch–Gordan para SU(3) A representação produto de duas representações irredutíveis e é geralmente redutível. Simbolicamente,
onde é um inteiro.
Por exemplo, dois octetos (adjuntos) se compõem como
isto é, seu produto se reduz a um icosasepteto (27), decupleto, dois octetos, um antidecupleto e um singleto, totalizando 64 estados.
A série à direita é chamada de série de Clebsch–Gordan. Isso implica que a representação aparece vezes na redução deste produto direto de com .
Agora, um conjunto completo de operadores é necessário para especificar unicamente os estados de cada representação irredutível dentro daquela que acabamos de reduzir. O conjunto completo de operadores comutantes no caso da representação irredutível é
onde .
Os estados da representação produto direto acima são, portanto, completamente representados pelo conjunto de operadores
onde o número entre parênteses designa a representação na qual o operador atua.
Um conjunto alternativo de operadores comutantes pode ser encontrado para a representação produto direto, se considerarmos o seguinte conjunto de operadores,
Assim, o conjunto de operadores comutantes inclui
Este é um conjunto de apenas nove operadores. Mas o conjunto deve conter dez operadores para definir todos os estados da representação produto direto de forma única. Para encontrar o último operador , deve-se olhar para fora do grupo. É necessário distinguir diferentes para valores semelhantes de e .
Assim, qualquer estado na representação produto direto pode ser representado pelo ket
também usando o segundo conjunto completo de operadores comutantes, podemos definir os estados na representação produto direto como
Podemos eliminar do estado e rotular os estados como
usando os operadores do primeiro conjunto, e,
usando os operadores do segundo conjunto.
Ambos os estados abrangem a representação produto direto e quaisquer estados na representação podem ser rotulados por uma escolha adequada dos autovalores.
Usando a relação de completeza,
Aqui, os coeficientes
são os coeficientes de Clebsch–Gordan.
Uma notação diferente Para evitar confusão, os autovalores podem ser denotados simultaneamente por e os autovalores são denotados simultaneamente por . Então o autoestado da representação produto direto pode ser denotado por |checked=yes}}
onde são os autovalores de e são os autovalores de denotados simultaneamente. Aqui, a quantidade expressa entre parênteses é o símbolo 3-j de Wigner.
Além disso, são considerados os estados de base de e são os estados de base de . Também são os estados de base da representação produto. Aqui representam os autovalores combinados e respectivamente.
Assim, as transformações unitárias que conectam as duas bases são
Esta é uma notação comparativamente compacta. Aqui,
são os coeficientes de Clebsch–Gordan.
Relações de ortogonalidade Os coeficientes de Clebsch–Gordan formam uma matriz ortogonal real. Portanto,
Além disso, eles seguem as seguintes relações de ortogonalidade,
Propriedades de simetria Se uma representação irredutível aparece na série de Clebsch–Gordan de , então ela deve aparecer na série de Clebsch–Gordan de . O que implica,
Onde Como os coeficientes de Clebsch–Gordan são todos reais, a seguinte propriedade de simetria pode ser deduzida,
Onde .
Grupo de simetria do operador Hamiltoniano do oscilador 3D Um oscilador harmônico tridimensional é descrito pelo Hamiltoniano
onde a constante de mola, a massa e a constante de Planck foram absorvidas na definição das variáveis, .
Observa-se que este Hamiltoniano é simétrico sob transformações de coordenadas que preservam o valor de . Assim, quaisquer operadores no grupo mantêm este Hamiltoniano invariante.
Mais significativamente, como o Hamiltoniano é hermitiano, ele permanece invariante sob a ação de elementos do grupo muito maior .
Mais sistematicamente, operadores como os operadores escada e