Em álgebra abstrata, a equivalência de Morita é uma relação definida entre anéis que preserva muitas propriedades da teoria de anéis. Mais precisamente, dois anéis R, S são Morita equivalentes (denotado por ) se suas categorias de módulos são aditivamente equivalentes (denotado por ). Recebeu o nome do matemático japonês Kiiti Morita, que definiu a equivalência e uma noção semelhante de dualidade em 1958.
Motivação Os anéis são comumente estudados em termos de seus módulos, pois os módulos podem ser vistos como representações dos anéis. Todo anel R tem uma estrutura natural de sobre si mesmo, onde a ação do módulo é definida como a multiplicação no anel, de modo que a abordagem via módulos é mais geral e fornece informações úteis. Por isso, frequentemente se estuda um anel estudando a categoria de módulos sobre esse anel. A equivalência de Morita leva esse ponto de vista a uma conclusão natural, definindo que anéis são Morita equivalentes se suas categorias de módulos são equivalentes. Esta noção é de interesse apenas quando se lida com anéis não comutativos, pois pode-se mostrar que dois anéis comutativos são Morita equivalentes se e somente se são isomorfos.
Definição Dois anéis R e S (associativos, com 1) são ditos (Morita) equivalentes se existe uma equivalência da categoria de módulos (à esquerda) sobre R, R-Mod, e da categoria de módulos (à esquerda) sobre S, S-Mod. Pode-se mostrar que as categorias de módulos à esquerda R-Mod e S-Mod são equivalentes se e somente se as categorias de módulos à direita Mod-R e Mod-S são equivalentes. Além disso, pode-se mostrar que qualquer functor de R-Mod para S-Mod que produz uma equivalência é automaticamente aditivo.
Exemplos Quaisquer dois anéis isomorfos são Morita equivalentes.
O anel de matrizes n-por-n com elementos em R, denotado Mn R, é Morita-equivalente a R para qualquer inteiro n > 0. Observe que isso generaliza a classificação de anéis simples artinianos dada pela teoria de Artin–Wedderburn. Para ver a equivalência, observe que se X é um à esquerda, então Xn é um onde a estrutura de módulo é dada pela multiplicação de matrizes à esquerda de vetores coluna de X. Isso permite a definição de um functor da categoria de à esquerda para a categoria de à esquerda. O functor inverso é definido percebendo que para qualquer existe um à esquerda X tal que o é obtido a partir de X como descrito acima.
Critérios para equivalência As equivalências podem ser caracterizadas da seguinte forma: se F : R-Mod S-Mod e G : S-Mod R-Mod são functores aditivos (covariantes), então F e G são uma equivalência se e somente se existe um (S,R)-bimódulo balanceado P tal que SP e PR são finitamente gerados projetivos geradores e existem isomorfismos naturais dos functores , e dos functores Geradores projetivos finitamente gerados também são às vezes chamados de progeradores para sua categoria de módulos.
Para todo functor exato à direita F da categoria de à esquerda para a categoria de à esquerda que comuta com somas diretas, um teorema de álgebra homológica mostra que existe um (S,R)-bimódulo E tal que o functor é naturalmente isomorfo ao functor . Como as equivalências são, por necessidade, exatas e comutam com somas diretas, isso implica que R e S são Morita equivalentes se e somente se existem bimódulos RMS e SNR tais que como (R,R)-bimódulos e como (S,S)-bimódulos. Além disso, N e M estão relacionados por um isomorfismo de (S,R)-bimódulos: .
Mais concretamente, dois anéis R e S são Morita equivalentes se e somente se para um progerador PR, o que ocorre se e somente se
(isomorfismo de anéis) para algum inteiro positivo n e idempotente pleno e no anel de matrizes Mn R.
Sabe-se que se R é Morita equivalente a S, então o anel Z(R) é isomorfo ao anel Z(S), onde Z(-) denota o centro do anel, e além disso R/J(R) é Morita equivalente a S/J(S), onde J(-) denota o radical de Jacobson.
Embora anéis isomorfos sejam Morita equivalentes, anéis Morita equivalentes podem ser não isomorfos. Um exemplo simples é que um anel de divisão D é Morita equivalente a todos os seus anéis de matrizes Mn D, mas não pode ser isomorfo quando n > 1. No caso especial de anéis comutativos, anéis Morita equivalentes são realmente isomorfos. Isso segue imediatamente do comentário acima, pois se R é Morita equivalente a S então .
Propriedades preservadas pela equivalência Muitas propriedades são preservadas pelo functor de equivalência para os objetos na categoria de módulos. De modo geral, qualquer propriedade de módulos definida puramente em termos de módulos e seus homomorfismos (e não em termos de seus elementos subjacentes ou anel) é uma propriedade categórica que será preservada pelo functor de equivalência. Por exemplo, se F(-) é o functor de equivalência de R-Mod para S-Mod, então o R-módulo M tem qualquer uma das seguintes propriedades se e somente se o S-módulo F(M) tem: injetivo, projetivo, plano, fiel, simples, semissimples, finitamente gerado, finitamente apresentado, artiniano e noetheriano. Exemplos de propriedades não necessariamente preservadas incluem ser livre e ser cíclico.
Muitas propriedades da teoria de anéis são enunciadas em termos de seus módulos, e portanto essas propriedades são preservadas entre anéis Morita equivalentes. Propriedades compartilhadas entre anéis equivalentes são chamadas de propriedades invariantes de Morita. Por exemplo, um anel R é semissimples se e somente se todos os seus módulos são semissimples, e como módulos semissimples são preservados sob equivalência de Morita, um anel equivalente S também deve ter todos os seus módulos semissimples e, portanto, ser ele próprio um anel semissimples.
Às vezes não é imediatamente óbvio por que uma propriedade deveria ser preservada. Por exemplo, usando uma definição padrão de anel regular de von Neumann (para todo a em R, existe x em R tal que a = axa), não está claro que um anel equivalente também deva ser regular de von Neumann. No entanto, outra formulação é: um anel é regular de von Neumann se e somente se todos os seus módulos são planos. Como a planaridade é preservada através da equivalência de Morita, fica agora claro que a regularidade de von Neumann é invariante de Morita.
As seguintes propriedades são invariantes de Morita: Simples, semissimples Regular de von Neumann à direita (ou esquerda) noetheriano, à direita (ou esquerda) artiniano à direita (ou esquerda) auto-injetivo Quase-Frobenius Primo, à direita (ou esquerda) primitivo, semiprimo, semiprimitivo à direita (ou esquerda) (semi-)hereditário à direita (ou esquerda) não singular à direita (ou esquerda) coerente Semiprimário, à direita (ou esquerda) perfeito, semiperfeito Semilocal
Exemplos de propriedades que não são invariantes de Morita incluem comutativo, local, reduzido, domínio, à direita (ou esquerda) Goldie, Frobenius, número de base invariante e finito de Dedekind.
Existem pelo menos dois outros testes para determinar se uma propriedade de anel é invariante de Morita. Um elemento e em um anel R é um idempotente pleno quando e2 = e e ReR = R.
é invariante de Morita se e somente se sempre que um anel R satisfaz , então eRe também satisfaz para todo idempotente pleno e e todo anel de matrizes Mn R para todo inteiro positivo n; ou é invariante de Morita se e somente se: para qualquer anel R e idempotente pleno e em R, R satisfaz se e somente se o anel eRe satisfaz .
Direções adicionais Dual à teoria das equivalências está a teoria das dualidades entre as categorias de módulos, onde os functores usados são contravariantes em vez de covariantes. Esta teoria, embora de forma semelhante, tem diferenças significativas porque não há dualidade entre as categorias de módulos para quaisquer anéis, embora dualidades possam existir para subcategorias. Em outras palavras, como os módulos de dimensão infinita geralmente não são reflexivos, a teoria das dualidades se aplica mais facilmente a álgebras finitamente geradas sobre anéis noetherianos. Talvez não surpreendentemente, o critério acima tem um análogo para dualidades, onde o isomorfismo natural é dado em termos do functor hom em vez do functor tensor.
A equivalência de Morita também pode ser definida em situações mais estruturadas, como para grupoides simpléticos e C*-álgebras. No caso das C*-álgebras, um tipo mais forte de equivalência, chamado equivalência de Morita forte, é necessário para obter resultados úteis em aplicações, devido à estrutura adicional das C*-álgebras (proveniente da operação * involutiva) e também porque as C*-álgebras não têm necessariamente um elemento identidade.
Significado na K-teoria Se dois anéis são Morita equivalentes, há uma equivalência induzida das respectivas categorias de módulos projetivos, pois as equivalências de Morita preservarão sequências exatas (e, portanto, módulos projetivos). Como a K-teoria algébrica de um anel é definida (na abordagem de Quillen) em termos dos grupos de homotopia de (aproximadamente) o espaço classificante do nerve da categoria (pequena) de módulos projetivos finitamente gerados sobre o anel, anéis Morita equivalentes devem ter K-grupos isomorfos.
Notas
Referências
Bibliografia
Leitura adicional
Categoria:Teoria dos módulos Categoria:Teoria dos anéis Categoria:Funtores adjuntos Categoria:Dualidade (matemática) Categoria:Equivalência (matemática)