Em álgebra linear, o problema de valor próprio quaterniónico é o problema de determinar os valores e vetores próprios de uma matrix com entradas quaterniónicas. Em contraste com a teoria clássica sob os números complexos, cuja multiplicação é comutativa, dois problemas distintos podem ser considerados: o problema de valor próprio à direita e o problema de valor próprio à esquerda.

Contexto histórico O estudo do problema de valor proóprio em matrizes quaterniónicas teve origem nos anos '40 através do trabalho de H. C. Lee que estabeleceu análogos quaterniónicos de inúmeros resultados de teoria de matrizes clássica, incluindo uma versão do Teorema da triangularização de Schur. De seguida, N. A. Wiegmann estabeleceu a existência da forma canônica de Jordan para matrizes quaterniónicas. Muito deste trabalho inicial focava-se no problema de valor próprio à direita. Nos anos 80', R. M. W. Wood provou a existência de valores próprios à esquerda. Trabalhos subsequentes por W. So, L. Huang e outros desenvolveram métodos computacionais, teoremas de localização e classificações para matrizes quaterniónicas com dimensão pequena. Nos anos '00, a teoria foi expandida para englobar teoria de operadores em dimensão infinita através do desenvolvimento da teoria de funções hiper-holomórficas em secções. Isto levou à introdução do S-spectrum e do cálculo funcional quaterniónico por F. Colombo, I. Sabadini e outros, providenciando um enquadramento completo para a teoria espectral quaterniónica para operadores lineares.

Aplicações Problemas de valor próprio quaterniónicos surgem naturalmente em mecânica quântica quaterniónica Quaternionic eigenvalue, onde observáveis e operadores de evolução são representados por operadores lineares quaterniónicos. Matrizes quaterniónicas são também usadas em matemática aplicada e engenharia, por exemplo para processamento de sinais e coloração de imagens.

Background Quaternions

Os quaterniões, denotados por , são uma algebra 4-dimensional associativa sob os números reais. Todo o quaternião é escrito unicamente como

onde e as unidades imaginárias satisfazem

Ao contrário do números reais e complexos, multiplicação quaterniónica não é comutativa. Por examplo,

Todo o quaternião não nulo admite um inverso multiplicativo. Os quaterniões formam, portanto, um anel de divisão (também referido como corpo torcido), mas não um corpo. Isto faz com que algebra linear sob os quaterniões seja distinta da algebra linear real ou complexa.

Espaços vetoriais quaterniónicos Como mencionado, os quaterniões formam um anel de divisão não comutativo. Consequentemente, multiplicação por um escalar num espaço vetorial quaterniónico tem de ser especificada se atua à esquerda ou à direita. Um espaço vetorial quaterniónico (ou um -módulo à esquerda) é um grupo abeliano equipado com uma multiplicação escalar

satisfazendo os axiomas de espaço vetorial. Analogamente, um espaço vetorial quaterniónico à direita (ou -módulp à direita) é um grupo abeliano equipado com uma multiplicação escalar

satisfazendo os mesmos axiomas. Correspondentemente, duas noções de linearidade quaterniónica surgem. Se é um espaço vetorial quaternionónico à direita, um mapa é linear à direita se

para todo , para todo e ,

Semelhantemente, se é um espaço linear quaterniónico à esquerda, um mapa é linear à esquerda se

para todo , para todo e ,

Tendo uma base escolhida, todo o mapa linear à direita num espaço vetorial quaterniónico -dimensional é representado por uma matrix com entradas quaterniónicas. Neste caso, a multiplicação de matrizes é definida da forma usual e satisfaz , sendo, portanto, um mapa linear.

Problema de valor próprio à direita Para uma matrix , o problema de valor próprio à direita consiste em encontrar vetores diferentes de zero e um quaternião tais que

O quaternião para o qual a equação acima é satisfeita é chamado valor próprio à direita de . O conjunto de valores próprios à direita de chama-se espectro à direita de , denotado por . Substituindo por para um quaternião diferente de zero, obtemos o valor próprio , dado que

Esta é a primeira característica distintiva do problema de valor próprio à direita: em contraste com o problema clássico, onde uma matrix admite até valores próprios distintos, algumas matrizes quaterniónicas admitem um número infinito de valores próprios. No entanto, os valores próprios podem ser organizados num número finito de classes de equivalência, também ditas classes de valores próprios. A classes de valores próprios gerada por é definida por

Zhang mostrou que o número de classes de valores próprios é finita. Mais precisamente, o seguinte teorema foi provado

Teorema. Seja uma matrix quaternionónica . Então tem exatamente classes distintas.

Note-se que, estando restrito ao problema de valor próprio sob os números complexos, as classes de valores próprios reduzem-se a um conjunto unitário . Portanto, o teorema acima é uma direta generalização do resultado clássico: uma matrix complexa de tamanho tem exatamente valores próprios complexos.

Cálculo do espectro à direita

Lee caracterizou um algoritmo para calcular os valores próprios de uma matrix qauterniónica :

Decompor a matrix quaterniónica em com . Considerar a matrix de companhia associada com (também chamada matrix adjunta complexa ou matriz adjunta de ) definida por Calcular os valores próprios da matrix , também chamados valores próprios standard de . Como é uma matriz complexa, pode-se utilizar técnicas clássicas para calcular os seus valores próprios. Cada par de valores próprios conjugados de gera a mesma classe de valores próprios da matrix original .

Formas canônicas

As formas canônicas de matrizes complexas admitem extensões para o contexto quaterniónico. Em particular, a decomposição de Schur e a forma canônica de Jordan generalizam para matrizes quaterniónicas recorrendo aos seus valores próprios à direita, mais especificamente aos seus valores próprios standard.

Lee provou que uma matriz quaterniónica é unitariamente semelhante a uma matrix triangular superior cujas entradas diagonais correspondem aos valores próprios standard da matrix . Posteriormente, Brenner apresentou um tratamente alternativo a este resultado. a afirmação precisa é a seguinte

Teorema. Seja . Então existe uma matrix unitária com coeficientes quaterniónico tal que é triangular superior, cujos elementos diagonais são os valores próprios diagonais standard de .

Wiegmann provou que toda a matriz quaterniónica é semelhante a uma matriz na forma caninônica de Jordan. Os blocos de Jordan são determinados pelos valores próprios standard e classificam matrizes quaterniónicas até semelhança. A afirmação precisa é a seguinte

Teorema. Seja . Então existe uma matrix quaterniónica invertivel tal que tem a forma canônica de Jordan, cujos elementos diagonais são os valores próprios standard de .

Problema de valor próprio à esquerda

Em contraste com o problema de valor próprio à direita, a teoria de valores próprios à esquerda é menos desenvolvida e exibe inúmeros fenómenos sem análogo clássico. O seu estudo sistemático começou através dos trabalhos de Wood, Huang e So, e outros. Para a matrix , o quaternião é referido valor próprio à esquerda de se existe um vetor não nulo tal que

O conjunto de valores próprios à esquerda de é chamado espectro à esquerda de e é denotado por . Huang e So mostraram que, até matrizes quaternionónicas podem ter ambos valores próprios finitos e infinitos. Concretamente, o seguinte teorema foi provado

Teorema. Seja . Então é infinito se e só se , , and . Neste caso

Valores próprios à esquerda não têm propriedades semelhantes a valores próprios à direita. Por exemplo, os valores próprios à esquerda não são invariantes sob transformações semelhantes. Se , o espectro à esquerda e não coincidem necessariamente. De facto, se , então

Dado que os escalares quaterniónicos, não comutam com as entradas de , a identidade não é válida em geral. Consequentemente, não é necessáriamente um vector próprio de associado ao mesmo valor próprio. Portanto, valores próprios à esquerda não geram formas canônicas de Jordan análoga à mesma para os valores próprios à direita.

Caso de dimensão infinita

A toeria de matrizes quaterniónicas, estende-se a operadores lineares limitados a atuar em espaços de Hilbert e de Banach de dimensão infinita. Neste contexto, no entanto, a noção clássica de valores próprio é insuficiente para desenvolver uma teoria espectral análogo à mesma para operadores complexos. Nomeadamente, a não comutatividade dos quaterniões previne a direta extensão do operador resolvent clássico para este contexto.

Por este motivo, o -spectrum foi introduzido. Para um operador linear à direita e limitado, o -spectrum é definido por

O espectro -spectrum generaliza ínumeras propriedade do espectro de um operador complexo, respeitando a estrutura quaterniónica. Posteriormente, foi provado que está de acordo com o espectro á direita de um operador quaterniónico linear á direita e limitado a atuar num espaço de Banach quaterniónico à direita.

Ver também Autovalores e autovetores Quaterniões Teoria espectral

Observações

Referencias

Leituras adicionais

categoria: álgebra