alt=Barras de Cuisenaire mostrando os divisores próprios de 6 (1, 2 e 3) somando 6|thumb|Visualização de 6 como um número perfeito alt=Gráfico com os anos no eixo x e o número de dígitos do maior número primo conhecido em escala logarítmica no eixo y, com duas linhas de tendência|thumb|Gráfico logarítmico do número de dígitos do maior número primo conhecido por ano; quase todos foram primos de Mersenne

Os primos de Mersenne e os números perfeitos são dois tipos de números naturais profundamente interligados na teoria dos números. Os primos de Mersenne, assim chamados em homenagem ao frade Marin Mersenne, são números primos que podem ser expressos como para algum inteiro positivo . Por exemplo, é um primo de Mersenne, pois é um número primo e pode ser expresso como . Os expoentes correspondentes aos primos de Mersenne devem ser eles próprios primos, embora a grande maioria dos primos não leve a primos de Mersenne; por exemplo, .

Os números perfeitos são números naturais iguais à soma de seus divisores próprios positivos, isto é, divisores que excluem o próprio número. Assim, é um número perfeito porque os divisores próprios de são e , e .

Euclides provou por volta de 300 a.C. que todo primo expresso como tem um número perfeito correspondente . Por exemplo, o primo de Mersenne leva ao número perfeito correspondente . Em 1747, Leonhard Euler completou o que hoje é chamado de teorema de Euclides–Euler, mostrando que esses são os únicos números perfeitos pares. Como resultado, existe uma correspondência um-para-um entre os primos de Mersenne e os números perfeitos pares, de modo que uma lista de um pode ser convertida em uma lista do outro.

Atualmente, é um problema em aberto saber se existem infinitos primos de Mersenne e infinitos números perfeitos pares. A densidade dos primos de Mersenne é objeto da conjectura de Lenstra–Pomerance–Wagstaff, segundo a qual o número esperado de primos de Mersenne menores que um dado é , em que é o número de Euler, é a constante de Euler e é o logaritmo natural. Acredita-se amplamente, embora isso não tenha sido provado, que não existem números perfeitos ímpares; numerosas condições restritivas foram demonstradas, incluindo um limite inferior de .

A seguir está uma lista de todos os 52 primos de Mersenne atualmente conhecidos (em novembro de 2025) e dos números perfeitos correspondentes, juntamente com seus expoentes . Os 18 maiores deles foram descobertos pelo projeto de computação distribuída Great Internet Mersenne Prime Search, ou GIMPS; seus descobridores são listados como "GIMPS / nome", em que nome é a pessoa que forneceu o computador que realizou a descoberta. Novos primos de Mersenne são encontrados usando o teste de Lucas–Lehmer (LLT), um teste de primalidade para primos de Mersenne eficiente em computadores binários. Devido a essa eficiência, o maior número primo conhecido frequentemente foi um primo de Mersenne.

Todos os expoentes possíveis até o 50.º () foram testados e verificados pelo GIMPS em setembro de 2025. As posições 51 em diante são provisórias e podem mudar no caso improvável de serem descobertos primos adicionais entre os atualmente listados. As entradas posteriores são extremamente longas; por isso, são mostrados apenas os seis primeiros e os seis últimos dígitos de cada número, juntamente com o número de dígitos decimais.

+ Tabela de todos os 52 primos de Mersenne atualmente conhecidos e números perfeitos correspondentes Posição Primo de Mersenne Número perfeito Descoberta Ref.Fontes aplicáveis a quase todas as entradas:

Valor Dígitos Valor Dígitos Data Descobridor Método 1 2 3 1 6 1 Antiguidade Conhecido por matemáticos gregos antigos Não registrado 2 3 7 1 28 2 3 5 31 2 496 3 4 7 127 3 8128 4 5 13 8191 4 33550336 8 século XIIIou 1456 Ibn Fallus ou anônimo divisão por tentativa 6 17 131071 6 8589869056 10 1588 Pietro Cataldi 7 19 524287 6 137438691328 12 8 31 2147483647 10 230584...952128 19 1772 Leonhard Euler Divisão por tentativa com restrições modulares 9 61 230584...693951 19 265845...842176 37 novembro de 1883 Ivan Pervushin sequências de Lucas 10 89 618970...562111 27 191561...169216 54 junho de 1911 Ralph Ernest Powers 11 107 162259...288127 33 131640...728128 65 1 de junho de 1914 12 127 170141...105727 39 144740...152128 77 10 de janeiro de 1876 Édouard Lucas 13 521 686479...057151 157 235627...646976 314 30 de janeiro de 1952 Raphael M. Robinson teste de Lucas–Lehmer (LLT) em SWAC 14 607 531137...728127 183 141053...328128 366 15 1,279 104079...729087 386 541625...291328 770 25 de junho de 1952 16 2,203 147597...771007 664 108925...782528 1,327 7 de outubro de 1952 17 2,281 446087...836351 687 994970...915776 1,373 9 de outubro de 1952 18 3,217 259117...315071 969 335708...525056 1,937 8 de setembro de 1957 Hans Riesel LLT em BESK 19 4,253 190797...484991 1,281 182017...377536 2,561 3 de novembro de 1961 Alexander Hurwitz LLT em IBM 7090 20 4,423 285542...580607 1,332 407672...534528 2,663 21 9,689 478220...754111 2,917 114347...577216 5,834 11 de maio de 1963 Donald B. Gillies LLT em ILLIAC II 22 9,941 346088...463551 2,993 598885...496576 5,985 16 de maio de 1963 23 11,213 281411...392191 3,376 395961...086336 6,751 2 de junho de 1963 24 19,937 431542...041471 6,002 931144...942656 12,003 4 de março de 1971 Bryant Tuckerman LLT em IBM 360/91 25 21,701 448679...882751 6,533 100656...605376 13,066 30 de outubro de 1978 Landon Curt Noll & Laura Nickel LLT em CDC Cyber 174 26 23,209 402874...264511 6,987 811537...666816 13,973 9 de fevereiro de 1979 Landon Curt Noll 27 44,497 854509...228671 13,395 365093...827456 26,790 8 de abril de 1979 Harry L. Nelson & David Slowinski LLT em Cray-1 28 86,243 536927...438207 25,962 144145...406528 51,924 25 de setembro de 1982 David Slowinski 29 110,503 521928...515007 33,265 136204...862528 66,530 29 de janeiro de 1988 Walter Colquitt & Luke Welsh LLT em NEC SX-2 30 132,049 512740...061311 39,751 131451...550016 79,502 19 de setembro de 1983 David Slowinski e outros (Cray) LLT em Cray X-MP 31 216,091 746093...528447 65,050 278327...880128 130,100 1 de setembro de 1985 LLT em Cray X-MP/24 32 756,839 174135...677887 227,832 151616...731328 455,663 17 de fevereiro de 1992 LLT no Harwell Lab com Cray-2 33 859,433 129498...142591 258,716 838488...167936 517,430 4 de janeiro de 1994 LLT em Cray C90 34 1,257,787 412245...366527 378,632 849732...704128 757,263 3 de setembro de 1996 LLT em Cray T94 35 1,398,269 814717...315711 420,921 331882...375616 841,842 13 de novembro de 1996 GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 em PC Pentium de 90 MHz 36 2,976,221 623340...201151 895,932 194276...462976 1,791,864 24 de agosto de 1997 GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 em 100 MHz Pentium PC 37 3,021,377 127411...694271 909,526 811686...457856 1,819,050 27 de janeiro de 1998 GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 em 200 MHz Pentium PC 38 6,972,593 437075...193791 2,098,960 955176...572736 4,197,919 1 de junho de 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 em IBM Aptiva com processador Pentium II de 350 MHz 39 13,466,917 924947...259071 4,053,946 427764...021056 8,107,892 14 de novembro de 2001 GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 em PC com processador Athlon T-Bird de 800 MHz 40 20,996,011 125976...682047 6,320,430 793508...896128 12,640,858 17 de novembro de 2003 GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 em Dell Dimension PC com processador Pentium 4 de 2 GHz 41 24,036,583 299410...969407 7,235,733 448233...950528 14,471,465 15 de maio de 2004 GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 em PC com processador Pentium 4 de 2,4 GHz 42 25,964,951 122164...077247 7,816,230 746209...088128 15,632,458 18 de fevereiro de 2005 GIMPS / Martin Nowak 43 30,402,457 315416...943871 9,152,052 497437...704256 18,304,103 15 de dezembro de 2005 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone LLT / Prime95 em PC na University of Central Missouri 44 32,582,657 124575...967871 9,808,358 775946...120256 19,616,714 4 de setembro de 2006 45 37,156,667 202254...220927 11,185,272 204534...480128 22,370,543 6 de setembro de 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 em PC 46 42,643,801 169873...314751 12,837,064 144285...253376 25,674,127 4 de junho de 2009 GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 em PC com processador Intel Core 2 de 3 GHz 47 43,112,609 316470...152511 12,978,189 500767...378816 25,956,377 23 de agosto de 2008 GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 em Dell OptiPlex PC com processador Intel Core 2 Duo E6600 48 57,885,161 581887...285951 17,425,170 169296...130176 34,850,340 25 de janeiro de 2013 GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 em PC na University of Central Missouri 49 74,207,281 300376...436351 22,338,618 451129...315776 44,677,235 7 de janeiro de 2016 GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 em PC com processador Intel Core i7-4790 50 77,232,917 467333...179071 23,249,425 109200...301056 46,498,850 26 de dezembro de 2017 GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 em PC com processador Intel Core i5-6600 * 81,426,857 Menor marco não verificado 51 82,589,933 148894...902591 24,862,048 110847...207936 49,724,095 7 de dezembro de 2018 GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 em PC com processador Intel Core i5-4590T 52 136,279,841 881694...871551 41,024,320 388692...008576 82,048,640 12 de outubro de 2024 GIMPS / Luke Durant LLT / PRPLL em GPU Nvidia H100 * 141,177,683 Menor marco não testado

Notas

Ligações externas Expoentes correspondentes Números perfeitos Primos de Mersenne Lista no GIMPS, com os valores completos dos grandes números (arquivado em 7 de junho de 2020) Relatório técnico sobre a história dos números de Mersenne, de Guy Haworth (arquivado em 13 de outubro de 2021)

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