Em matemática, os grupos clássicos são os grupos de matrizes decorrentes de espaços vetoriais de dimensão finita e de formas bilineares, sesquilineares, quadráticas e hermitianas não degeneradas. No ambiente tradicional dos grupos de Lie, isso inclui os grupos linear geral, especial linear, ortogonal, unitário e simpático sobre os números reais, complexos e quaterniónicos, juntamente com seus análogos indefinidos.
Na linguagem dos grupos algébricos lineares, os grupos clássicos conexos são os grupos reductivos conexos dos tipos de Dynkin , , e , juntamente com suas formas sobre corpos arbitrários. Sobre e , isso recupera os grupos de Lie clássicos habituais, enquanto sobre corpos finitos obtêm-se os grupos clássicos finitos.
O termo remonta ao livro de Hermann Weyl, The Classical Groups. Entre os grupos de Lie simples, os grupos clássicos contrastam com os grupos de Lie excepcionais, G2, F4, E6, E7 e E8, que compartilham suas propriedades abstratas, mas não sua familiaridade.Wybourne, B. G. (1974). Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience. .
Este artigo começa com os grupos de Lie clássicos sobre , e , e posteriormente discute a formulação mais geral sobre corpos arbitrários.
Visão geral
Dois usos intimamente relacionados do termo grupo clássico ocorrem na literatura. Na literatura mais antiga de grupos de matrizes, os grupos clássicos são os grupos lineares sobre , e , juntamente com os grupos que preservam formas não degeneradas nesses espaços. Na teoria moderna de grupos algébricos, a frase geralmente se refere aos grupos dos tipos , , e e suas formas sobre corpos gerais.
Para os fins deste artigo, as principais famílias são: os grupos lineares e ; os grupos ortogonais associados a formas quadráticas ou formas bilineares simétricas não degeneradas; os grupos simpLéticos associados a formas alternadas não degeneradas; os grupos unitários associados a formas hermitianas não degeneradas relativas a uma involução.
Sobre , os grupos de Lie clássicos simples conexos são as famílias dos tipos , , e . Suas formas reais compactas são , e .
Os grupos clássicos reais, complexos e quaterniónicos padrão são apresentados na tabela a seguir:
Nome Grupo Corpo Forma preservada Subgrupo compacto máximo Álgebra de Lie Sistema de raízes Especial linear
—
Especial linear complexo
—
Especial linear quaterniónico
—
Especial ortogonal (indefinido)
Bilinear simétrica
se ; se Especial ortogonal complexo
Bilinear simétrica
se ; se Simplético real
Bilinear alternada
Simplético complexo
Bilinear alternada
Especial unitário (indefinido)
Hermitiana
Unitário quaterniónico (indefinido)
Hermitiana
Ortogonal quaterniónico
Anti-hermitiana
Grupos lineares
Grupos especiais lineares reais e complexos
Para ou , o grupo especial linear é
Sua álgebra de Lie é
Assim, consiste em todas as matrizes reais de traço nulo, e consiste em todas as matrizes complexas de traço nulo.
Formas e grupos de automorfismos
Os grupos clássicos são descritos mais naturalmente como grupos de automorfismos de formas não degeneradas em espaços vetoriais de dimensão finita. pp. 91–107. pp. 1–16.
Seja um espaço vetorial de dimensão finita sobre ou . Uma forma bilinear em é uma aplicação
que é linear em cada variável. Uma forma sesquilinear em um espaço vetorial complexo é uma aplicação
que é anti-linear (conjugada-linear) na primeira variável e linear na segunda. pp. 91–93.
Para espaços vetoriais quaterniónicos, geralmente trabalha-se com espaços vetoriais à direita sobre . Nesse contexto, as formas relevantes são as formas hermitianas ou anti-hermitianas quaterniónicas, que são anti-lineares na primeira variável e lineares na segunda. pp. 9–11.
Se é uma forma não degenerada em , seu grupo de automorfismos é
Após a escolha de uma base, é representada por uma matriz Gram , e torna-se um grupo de matrizes definido por uma das equações
conforme seja bilinear ou sesquilinear. pp. 92–93.
A álgebra de Lie de é
ou, em forma matricial, pp. 92–93.
Formas simétricas, alternadas, hermitianas e anti-hermitianas
Uma forma bilinear é: simétrica se ; alternada (ou antissimétrica, quando ) se para todo , equivalentemente . pp. 104–107.
Uma forma sesquilinear é: hermitiana se ; anti-hermitiana se . pp. 9–11.
Sobre , as formas bilineares simétricas não degeneradas são classificadas pela sua assinatura . Sobre , todas as formas bilineares simétricas não degeneradas de uma dada dimensão são equivalentes. Formas alternadas não degeneradas existem apenas em dimensão par e, tanto sobre quanto sobre , todas essas formas são equivalentes. pp. 104–107.
Em um espaço vetorial complexo, multiplicar uma forma anti-hermitiana por produz uma forma hermitiana, de modo que os dois casos levam aos mesmos grupos de isometria, a menos de uma mudança inofensiva de convenção. p. 84. Em um espaço vetorial quaterniónico, por outro lado, não existem formas bilineares não nulas, de modo que apenas os casos hermitiano e anti-hermitiano ocorrem. p. 84.
Grupos que preservam formas bilineares
Grupos ortogonais
Seja uma forma bilinear simétrica não degenerada.
Sobre , pode-se escolher uma base na qual
onde . Seu grupo de automorfismos é o grupo ortogonal indefinido
O subgrupo de determinante é o grupo ortogonal especial pp. 106–109.
Quando , este é o grupo ortogonal compacto , com o subgrupo de determinante sendo . pp. 106–109.
Sobre , toda forma bilinear simétrica não degenerada é equivalente à forma padrão
Seu grupo de automorfismos é o grupo ortogonal complexo
com o subgrupo de determinante sendo . pp. 110–111.
As álgebras de Lie correspondentes são
pp. 108–111.
Se
com blocos de tamanhos , , e , então a relação definidora de é equivalente a
Escrevendo
obtemos a forma em blocos
Assim, é o espaço das matrizes complexas antissimétricas .
Grupos simpLéticos
Seja uma forma bilinear alternada não degenerada em um espaço vetorial de dimensão . Sobre ou , pode-se escolher uma base na qual
Seu grupo de automorfismos é o grupo simpLético
Muitos autores escrevem e para esses grupos. pp. 109–110.
Sua álgebra de Lie é
Equivalentemente, cada elemento tem a forma em blocos
com e simétricas. pp. 109–110.
Grupos que preservam formas sesquilineares
Grupos unitários
Seja uma forma hermitiana não degenerada em um espaço vetorial complexo de dimensão . Pode-se escolher uma base na qual
onde . pp. 111–113.
Seu grupo de automorfismos é o grupo unitário
O subgrupo de determinante é o grupo unitário especial pp. 111–113.
Quando , este é o grupo unitário compacto , com subgrupo de determinante sendo . pp. 111–113.
Sua álgebra de Lie é pp. 111–113.
Se
então a relação definidora é equivalente a
Em forma de blocos,
A álgebra de Lie especial unitária é a subálgebra de traço nulo
Grupos quaterniónicos
Para os grupos clássicos quaterniónicos, é conveniente identificar
e representar um quatérnio pela matriz complexa
Isso se estende a uma imersão pp. 94–95.
GL(n,H) e SL(n,H)
O grupo consiste nos endomorfismos quaterniónicos-lineares invertíveis do espaço vetorial à direita . Através da imersão complexa acima, ele é realizado como um subgrupo de Lie real de composto por matrizes da forma pp. 94–95.
Sua álgebra de Lie é, portanto,
A forma real correspondente de é denotada por e, como grupo de Lie, é isomorfa ao grupo tradicionalmente escrito como , sendo o subgrupo de formado pelos elementos de norma reduzida igual a 1. pp. 7–9, 84–86.
Sua álgebra de Lie é
Sp(p,q)
Seja e seja
uma forma hermitiana quaterniónica não degenerada. Seu grupo de isometrias é o grupo unitário quaterniónico pp. 9–10.
Quando , este é o grupo compacto geralmente escrito como . p. 84.
Visto como um subgrupo de , o grupo preserva tanto uma forma hermitiana complexa de assinatura quanto uma forma alternada complexa não degenerada. pp. 10–11. Sua álgebra de Lie é pp. 15–16.
Se
com blocos quaterniónicos, a relação definidora é equivalente a
Em forma de blocos,
SO*(2n)
Seja e considere a forma anti-hermitiana quaterniónica
Seu grupo de isometrias é o grupo de Lie real
que é uma forma real de . pp. 10–11.
Equivalentemente, se
então pode ser realizado como o subgrupo
onde é a involução que define essa forma real. pp. 10–11.
Sua álgebra de Lie é denotada por . pp. 16–17.
Uma realização complexa padrão de é como o subgrupo de que preserva tanto a forma bilinear simétrica com matriz Gram
quanto a forma hermitiana com matriz Gram
Equivalentemente,
Sua álgebra de Lie é
Grupos clássicos sobre corpos arbitrários
Sobre um corpo , os grupos clássicos são os grupos de automorfismos lineares de um espaço vetorial de dimensão finita que preservam ou nenhuma estrutura adicional, ou uma forma alternada, quadrática ou hermitiana não degenerada. Sobre e , estes recuperam os grupos de Lie clássicos conhecidos, enquanto sobre um corpo finito seus grupos de pontos racionais fornecem os grupos clássicos finitos.
Grupos lineares
Seja um espaço vetorial de dimensão sobre . O grupo linear geral de é
e o grupo linear especial é
Após a escolha de uma base, estes tornam-se os grupos de matrizes e . Seus quocientes projetivos são o grupo projetivo linear geral e o grupo projetivo linear especial .
Grupos que preservam formas
Os demais grupos clássicos surgem como grupos de automorfismos de formas não degeneradas.
Se é uma forma bilinear alternada não degenerada em , seu grupo de isometrias é o grupo simpLético
Para , este é escrito como após a escolha de uma base.
Se é uma forma quadrática não degenerada em , seu grupo de isometrias é o grupo ortogonal
Quando , este é equivalentemente o grupo que preserva a forma bilinear simétrica associada. Em característica 2, os grupos ortogonais ainda são definidos a partir de formas quadráticas, mas a relação com a forma bilinear associada é mais sutil. Para grupos ortogonais sobre corpos gerais, considera-se frequentemente também o subgrupo . No caso isotrópico e em característica diferente de 2, ele pode ser descrito como o núcleo da norma espinorial, um homomorfismo de (ou mais geralmente do subgrupo de índice 2 apropriado de ) para . Na teoria dos grupos clássicos finitos, o grupo simples costuma ser em vez de .
Se é uma extensão quadrática de corpos, ou mais geralmente se está equipado com uma involução , e é uma forma -hermitiana não degenerada em um espaço vetorial de dimensão finita sobre , seu grupo de isometrias é um grupo unitário
Seu subgrupo derivado é o grupo unitário especial .
Têm-se também os correspondentes grupos de similitude , e , cujos elementos preservam a forma Relevante a menos de multiplicação por um escalar. Versões projetivas são obtidas tomando o quociente pelo centro.
Grupos clássicos como grupos algébricos
Na linguagem da geometria algébrica, um grupo algébrico linear sobre é um esquema em grupos afim suave sobre , equivalentemente um subgrupo fechado suave sobre de algum . Sob esse ponto de vista, os grupos clássicos conexos são os grupos reductivos conexos dos tipos de Dynkin , , e , juntamente com suas formas sobre corpos que não são algebricamente fechados.
Os grupos clássicos desdobrados (split) são representados pelos seguintes exemplos padrão: tipo : e ; tipo : e seu recobrimento simplesmente conexo ; tipo : e ; tipo : e .
Sobre um corpo geral, obtêm-se grupos clássicos adicionais como formas interiores ou exteriores desses grupos desdobrados. Por exemplo, grupos unitários são formas exteriores do tipo , e muitos grupos ortogonais ou simpLéticos são classificados por formas quadráticas ou hermitianas.
Quando é um corpo finito, os grupos de pontos -racionais desses grupos algébricos produzem os grupos finitos do tipo Lie. As famílias clássicas incluem grupos como , , e os grupos ortogonais finitos.
Grupos clássicos a partir de álgebras centrais simples com involução