Em geometria, a área delimitada por um círculo de raio é . Aqui, a letra grega representa a constante razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, aproximadamente igual a 3,14159.
Um método para derivar esta fórmula, que se originou com Arquimedes, envolve ver o círculo como o limite de uma sequência de polígonos regulares com um número crescente de lados. A área de um polígono regular é metade do seu perímetro multiplicado pelo distância do seu centro aos seus lados e, como a sequência tende a um círculo, a fórmula correspondente — de que a área é metade da circunferência vezes o raio — ou seja, , é válida para um círculo.
Terminologia Embora muitas vezes referida como a área de um círculo em contextos informais, estritamente falando, o termo disco refere-se à região interior do círculo, enquanto círculo é reservado apenas para a fronteira, que é uma curva e não cobre área alguma. Portanto, a área de um disco é a frase mais precisa para a área delimitada por um círculo.
História A matemática moderna pode obter a área usando os métodos do cálculo integral ou seu descendente mais sofisticado, a análise real. No entanto, a área de um disco foi estudada pelos antigos gregos. Eudoxo de Cnido no século V a.C. descobriu que a área de um disco é proporcional ao quadrado do seu raio. Arquimedes usou as ferramentas da geometria euclidiana para mostrar que a área dentro de um círculo é igual à de um triângulo retângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo em seu livro Medição de um Círculo. A circunferência é , e a área de um triângulo é metade da base vezes a altura, resultando na área para o disco. Antes de Arquimedes, Hipócrates de Quios foi o primeiro a mostrar que a área de um disco é proporcional ao quadrado do seu diâmetro, como parte de sua quadratura da lúnula de Hipócrates,. mas não identificou a constante de proporcionalidade.
Argumentos históricos Vários argumentos foram apresentados historicamente para estabelecer a equação com diferentes graus de rigor matemático. O mais famoso deles é o método de exaustão de Arquimedes, um dos primeiros usos do conceito matemático de limite, bem como a origem do axioma de Arquimedes que permanece parte do tratamento analítico padrão do sistema de números reais. A prova original de Arquimedes não é rigorosa pelos padrões modernos, porque assume que podemos comparar o comprimento do arco de um círculo com o comprimento de uma secante e uma reta tangente, e afirmações semelhantes sobre a área, como geometricamente evidentes.
Usando polígonos A área de um polígono regular é metade do seu perímetro vezes o apótema. À medida que o número de lados do polígono regular aumenta, o polígono tende a um círculo, e o apótema tende ao raio. Isso sugere que a área de um disco é metade da circunferência do seu círculo delimitador vezes o raio.Hill, George. Lessons in Geometry: For the Use of Beginners, page 124 (1894).
Prova de Arquimedes Seguindo o argumento de Arquimedes em A Medição de um Círculo (c. 260 a.C.), compare a área delimitada por um círculo com um triângulo retângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo. Se a área do círculo não for igual à do triângulo, então deve ser maior ou menor. Eliminamos cada uma dessas possibilidades por contradição, deixando a igualdade como a única possibilidade. Usamos polígonos regulares da mesma maneira.
Não maior
Suponha que a área C delimitada pelo círculo é maior que a área T = cr/2 do triângulo. Seja E o valor do excesso. Inscreva um quadrado no círculo, de modo que seus quatro cantos fiquem no círculo. Entre o quadrado e o círculo existem quatro segmentos. Se a área total dessas lacunas, G4, for maior que E, divida cada arco ao meio. Isso transforma o quadrado inscrito em um octógono inscrito e produz oito segmentos com uma lacuna total menor, G8. Continue dividindo até que a área total da lacuna, Gn, seja menor que E. Agora a área do polígono inscrito, Pn = C − Gn, deve ser maior que a do triângulo.
Mas isso força uma contradição, como se segue. Trace uma perpendicular do centro ao ponto médio de um lado do polígono; seu comprimento, h, é menor que o raio do círculo. Além disso, seja cada lado do polígono com comprimento s; então a soma dos lados é ns, que é menor que a circunferência do círculo. A área do polígono consiste em n triângulos iguais com altura h e base s, portanto é igual a nhs/2. Mas como h < r e ns < c, a área do polígono deve ser menor que a área do triângulo, cr/2, uma contradição. Portanto, nossa suposição de que C poderia ser maior que T deve estar errada.
Não menor
Suponha que a área delimitada pelo círculo é menor que a área T do triângulo. Seja D o valor do déficit. Circunscreva um quadrado, de modo que o ponto médio de cada lado fique no círculo. Se a lacuna de área total entre o quadrado e o círculo, G4, for maior que D, corte os cantos com tangentes ao círculo para fazer um octógono circunscrito e continue cortando até que a área da lacuna seja menor que D. A área do polígono, Pn, deve ser menor que T.
Isso também força uma contradição. Pois uma perpendicular ao ponto médio de cada lado do polígono é um raio, de comprimento r. E como o comprimento total do lado é maior que a circunferência, o polígono consiste em n triângulos idênticos com área total maior que T. Novamente temos uma contradição, então nossa suposição de que C poderia ser menor que T também deve estar errada.
Portanto, deve ser o caso de que a área delimitada pelo círculo é precisamente a mesma que a área do triângulo. Isso conclui a prova.
Prova por rearranjo
Seguindo Satō Moshun , Nicolau de Cusa e Leonardo da Vinci , podemos usar polígonos regulares inscritos de uma maneira diferente. Suponha que inscrevamos um hexágono. Corte o hexágono em seis triângulos dividindo-o a partir do centro. Dois triângulos opostos tocam ambos dois diâmetros comuns; deslize-os ao longo de um para que as bordas radiais fiquem adjacentes. Eles agora formam um paralelogramo, com os lados do hexágono formando duas bordas opostas, uma das quais é a base, s. Duas bordas radiais formam lados inclinados, e a altura, h, é igual ao seu apótema (como na prova de Arquimedes). Na verdade, também podemos montar todos os triângulos em um grande paralelogramo colocando pares sucessivos lado a lado. O mesmo é verdade se aumentarmos para oito lados e assim por diante. Para um polígono com 2n lados, o paralelogramo terá uma base de comprimento ns e uma altura h. À medida que o número de lados aumenta, o comprimento da base do paralelogramo se aproxima da metade da circunferência do círculo, e sua altura se aproxima do raio do círculo. No limite, o paralelogramo se torna um retângulo com largura πr e altura r.
{| class="wikitable" frame="vsides" style="text-align:center" cellspacing="0" cellpadding="3" |+ Área do disco unitário rearranjando n polígonos. |- ! colspan="2" | polígono | rowspan="11" style="padding:1px;"| ! colspan="3" | paralelogramo |- ! n !! lado !! base !! altura !! área |- | align="right" | 4 || 1,4142136 || 2,8284271 || 0,7071068 || 2,0000000 |- | align="right" | 6 || 1,0000000 || 3,0000000 || 0,8660254 || 2,5980762 |- | align="right" | 8 || 0,7653669 || 3,0614675 || 0,9238795 || 2,8284271 |- | align="right" | 10 || 0,6180340 || 3,0901699 || 0,9510565 || 2,9389263 |- | align="right" | 12 || 0,5176381 || 3,1058285 || 0,9659258 || 3,0000000 |- | align="right" | 14 || 0,4450419 || 3,1152931 || 0,9749279 || 3,0371862 |- | align="right" | 16 || 0,3901806 || 3,1214452 || 0,9807853 || 3,0614675 |- | align="right" | 96 || 0,0654382 || 3,1410320 || 0,9994646 || 3,1393502 |- | ∞ || 1/∞ || π || 1 || π
Provas modernas Existem várias definições equivalentes da constante π. A definição convencional na geometria pré-cálculo é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro:
No entanto, como a circunferência de um círculo não é um conceito analítico primitivo, esta definição não é adequada em tratamentos rigorosos modernos. Uma definição moderna padrão é que π é igual a duas vezes a menor raiz positiva da função cosseno ou, equivalentemente, o semiperíodo do seno (ou cosseno). A função cosseno pode ser definida como uma série de potências ou como a solução de uma certa equação diferencial. Isso evita qualquer referência a círculos na definição de π, de modo que afirmações sobre a relação de π com a circunferência e a área de círculos são na verdade teoremas, em vez de definições, que decorrem das definições analíticas de conceitos como "área" e "circunferência".
As definições analíticas são consideradas equivalentes, se for acordado que a circunferência do círculo é medida como uma curva retificável por meio da integral
A integral que aparece à direita é uma integral abeliana cujo valor é um semiperíodo da função seno, igual a π. Assim, é visto como verdadeiro como um teorema.
Vários dos argumentos que se seguem usam apenas conceitos do cálculo elementar para reproduzir a fórmula , mas em muitos casos, para considerar essas como provas reais, eles dependem implicitamente do fato de que se pode desenvolver funções trigonométricas e a constante fundamental π de uma maneira que seja totalmente independente de sua relação com a geometria. Indicamos onde apropriado como cada uma dessas provas pode ser tornada totalmente independente de toda trigonometria, mas em alguns casos isso requer ideias matemáticas mais sofisticadas do que aquelas proporcionadas pelo cálculo elementar.
Prova da cebola
Usando cálculo, podemos somar a área incrementalmente, particionando o disco em finos anéis concêntricos, como as camadas de uma cebola. Este é o método de integração de cascas em duas dimensões. Para um anel infinitesimalmente fino da "cebola" de raio t, a área acumulada é 2πt dt, o comprimento circunferencial do anel vezes sua largura infinitesimal (pode-se aproximar este anel por um retângulo com largura = 2πt e altura = dt). Isso fornece uma integral elementar para um disco de raio r.
É rigorosamente justificado pela regra de substituição multivariada em coordenadas polares. Ou seja, a área é dada por uma integral dupla da função constante 1 sobre o próprio disco. Se D denota o disco, então a integral dupla pode ser calculada em coordenadas polares da seguinte forma:
que é o mesmo resultado obtido acima.
Uma justificativa rigorosa equivalente, sem depender das coordenadas especiais da trigonometria, usa a fórmula da coárea. Defina uma função por . Observe que ρ é uma função de Lipschitz cujo gradiente é um vetor unitário (quase em toda parte). Seja D o disco em . Mostraremos que , onde é a medida de Lebesgue bidimensional em . Vamos assumir que a medida de Hausdorff unidimensional do círculo é , a circunferência do círculo de raio r. (Isso pode ser tomado como a definição de circunferência.) Então, pela fórmula da coárea,
Prova do triângulo
Semelhante à prova da cebola descrita acima, poderíamos explorar o cálculo de uma maneira diferente para chegar à fórmula da área de um disco. Considere desenrolar os círculos concêntricos em tiras retas. Isso formará um triângulo retângulo com r como sua altura e 2πr (sendo a camada externa da cebola) como sua base.
Encontrar a área deste triângulo dará a área do disco
Os ângulos oposto e adjacente para este triângulo são respectivamente em graus 9,0430611..., 80,956939... e em radianos 0,1578311... , 1,4129651....
Explicitamente, imaginamos dividir um círculo em triângulos, cada um com uma altura igual ao raio do círculo e uma base infinitesimalmente pequena. A área de cada um desses triângulos é igual a . Somando (integrando) todas as áreas desses triângulos, chegamos à fórmula para a área do círculo:
Também pode ser justificado por uma integral dupla da função constante 1 sobre o disco, invertendo a ordem de integração e usando uma mudança de variáveis na integral iterada acima:
Fazendo a substituição converte a integral em