Em matemática, especialmente em topologia algébrica, o limite e o colimite homotópicos são variantes das noções de limite e colimite estendidas para a categoria homotópica . A ideia principal é esta: se temos um diagrama
considerado como um objeto na categoria homotópica de diagramas (onde a equivalência homotópica de diagramas é considerada ponto a ponto), então o limite e o colimite homotópicos correspondem ao cone e ao cocone
que são objetos na categoria homotópica , onde é a categoria com um objeto e um morfismo. Observe que esta categoria é equivalente à categoria homotópica padrão , uma vez que a última categoria de functores homotópica tem functores que escolhem um objeto em e uma transformação natural corresponde a uma função contínua de espaços topológicos. Observe que esta construção pode ser generalizada para categorias de modelos, que fornecem técnicas para construir limites e colimites homotópicos em termos de outras categorias homotópicas, como as categorias derivadas. Outra perspectiva que formaliza esses tipos de construções são os derivadores, que são uma nova estrutura para a álgebra homotópica.
Exemplos introdutórios
Pushout homotópico
O conceito de colimite homotópico é uma generalização de pushouts homotópicos, tais como o cilindro de aplicação usado para definir uma cofibração. Esta noção é motivada pela seguinte observação: o pushout (ordinário)
é o espaço obtido contraindo a (n−1)-esfera (que é a fronteira do disco n-dimensional) a um único ponto. Este espaço é homeomorfo à n-esfera Sn. Por outro lado, o pushout
é um ponto. Portanto, embora o disco (contráctil) Dn tenha sido substituído por um ponto (que é homotopicamente equivalente ao disco), os dois pushouts não são homotopicamente (ou fracamente) equivalentes.
Portanto, o pushout não está bem alinhado com um princípio da teoria da homotopia, que considera espaços fracamente equivalentes como portadores da mesma informação: se um (ou mais) dos espaços usados para formar o pushout é substituído por um espaço fracamente equivalente, não é garantido que o pushout permaneça fracamente equivalente. O pushout homotópico corrige este defeito.
O pushout homotópico de dois mapas de espaços topológicos é definido como
,
isto é, em vez de colar B tanto em A quanto em C, duas cópias de um cilindro sobre B são coladas e suas extremidades são coladas a A e C.
Por exemplo, o colimite homotópico do diagrama (cujos mapas são projeções)
é a junção .
Pode-se mostrar que o pushout homotópico não compartilha o defeito do pushout ordinário: substituindo A, B e/ou C por um espaço homotópico, o pushout homotópico também será homotópico. Neste sentido, os pushouts homotópicos tratam espaços homotópicos tão bem quanto o pushout (ordinário) trata espaços homeomórficos.
Composição de mapas
Outro exemplo útil e motivador de um colimite homotópico é a construção de modelos para o colimite homotópico do diagrama
de espaços topológicos. Há várias maneiras de modelar este colimite: a primeira é considerar o espaço
onde é a relação de equivalência que identifica
que pode ser descrito pictoricamente como a figura
Como podemos interpretar similarmente o diagrama acima como o diagrama comutativo, a partir das propriedades das categorias, obtemos um diagrama comutativo
dando um colimite homotópico. Poderíamos supor que isso se parece com
mas observe que introduzimos um novo ciclo para preencher os novos dados da composição. Isso cria um problema técnico que pode ser resolvido usando técnicas simpliciais: fornecendo um método para construir um modelo para colimites homotópicos. O novo diagrama, que forma o colimite homotópico do diagrama de composição, é representado pictoricamente como
dando outro modelo do colimite homotópico que é homotopicamente equivalente ao diagrama original (sem a composição de ) dado acima.
Telescópio de aplicação
O colimite homotópico de uma sequência de espaços
é o telescópio de aplicação.Hatcher's Algebraic Topology, 4.G. Um exemplo de cálculo é tomar o colimite homotópico de uma sequência de cofibrações. O colimite deste diagrama dá um colimite homotópico. Isso implica que poderíamos calcular o colimite homotópico de qualquer telescópio de aplicação substituindo os mapas por cofibrações.
Definição geral
Limite homotópico
Tratar exemplos como o telescópio de aplicação e o pushout homotópico em pé de igualdade pode ser alcançado considerando um diagrama de espaços, onde é alguma categoria de "indexação". Este é um functor
isto é, a cada objeto em , atribui-se um espaço e mapas entre eles, de acordo com os mapas em . A categoria de tais diagramas é denotada por .
Há um functor natural chamado diagonal,
que envia qualquer espaço para o diagrama que consiste em em toda parte (e a identidade de como mapas entre eles). Na teoria de categorias (ordinária), o adjunto direito deste functor é o limite. O limite homotópico é definido alterando esta situação: é o adjunto direito de
que envia um espaço para o diagrama que em algum objeto dá
Aqui é a categoria de fatia (seus objetos são flechas , onde é qualquer objeto de ), é o nerve desta categoria e é a realização topológica deste conjunto simplicial.Bousfield & Kan: Homotopy limits, Completions and Localizations, Springer, LNM 304. Seção XI.3.3
Colimite homotópico
Da mesma forma, pode-se definir um colimite como o adjunto esquerdo do functor diagonal dado acima. Para definir um colimite homotópico, devemos modificar de uma maneira diferente. Um colimite homotópico pode ser definido como o adjunto esquerdo de um functor onde
,
onde é a categoria oposta de . Embora este não seja o mesmo que o functor acima, ele compartilha a propriedade de que se a realização geométrica da categoria nerve () for substituída por um espaço de ponto, recuperamos o functor original .
Exemplos
Um pullback homotópico (ou produto-fibra homotópico) é o conceito dual de um pushout homotópico. Ele satisfaz a propriedade universal de um pullback a menos de homotopia. Concretamente, dados e , pode ser construído como
Math 527 - Homotopy Theory Homotopy pullbacks
Por exemplo, a fibra homotópica de sobre um ponto y é o pullback homotópico de ao longo de . O pullback homotópico de ao longo da identidade nada mais é do que o espaço de caminhos de aplicação de .
A propriedade universal de um pullback homotópico produz o mapa natural , um caso especial de um mapa natural de um limite para um limite homotópico. No caso de uma fibra homotópica, este mapa é uma inclusão de uma fibra em uma fibra homotópica.
Construção de colimites com substituições simpliciais
Dada uma categoria pequena e um diagrama , podemos construir o colimite homotópico usando uma substituição simplicial do diagrama. Este é um espaço simplicial, dado pelo diagrama
onde
dado por cadeias de mapas composáveis na categoria de indexação . Então, o colimite homotópico de pode ser construído como a realização geométrica deste espaço simplicial, de modo que
Observe que isso concorda com a figura dada acima para o diagrama de composição de .
Relação com o colimite e limite (ordinários)
Há sempre um mapa
Tipicamente, este mapa não é uma equivalência fraca. Por exemplo, o pushout homotópico encontrado acima sempre mapeia para o pushout ordinário. Este mapa não é tipicamente uma equivalência fraca, por exemplo, a junção não é fracamente equivalente ao pushout de , que é um ponto.
Mais exemplos e aplicações
Assim como o limite é usado para completar um anel, o holim é usado para completar um espectro.
Ver também
Teoria da homotopia Derivador Fibra homotópica Cofibra homotópica Coomologia de categorias Sequência espectral de colimites homotópicos
Referências
Bibliografia A Primer on Homotopy Colimits Homotopy colimits in the category of small categories Categories and Orbispaces [Hatcher AT]
Leitura adicional
Homotopy limit-colimit diagrams in stable model categories p. 80 Homotopy Colimits and Limits
Categoria:Teoria da homotopia Categoria:Limites (teoria das categorias) Categoria:Álgebra homotópica