Na topologia algébrica, os teoremas dos coeficientes universais (TCU) estabelecem relações entre grupos de homologia (ou grupos de cohomologia) com diferentes coeficientes. Por exemplo, para todo espaço topológico , os seus grupos de homologia inteira:
determinam completamente os seus grupos de homologia com coeficientes em , para qualquer grupo abeliano :
Aqui, pode representar a homologia simplicial ou, mais genericamente, a homologia singular. A demonstração usual deste resultado é uma aplicação pura da álgebra homológica sobre complexos de cadeias de grupos abelianos livres. A forma do resultado indica que outros coeficientes podem ser utilizados, ao custo de introduzir o functor Tor.
Por exemplo, é comum tomar como sendo , de modo que os coeficientes estejam módulo 2. Isso se torna direto na ausência de 2-torção na homologia. De modo bastante geral, o resultado indica a relação válida entre os números de Betti de e os números de Betti com coeficientes em um corpo . Estes podem diferir, mas apenas quando a característica de for um número primo para o qual exista alguma -torção na homologia.
Enunciado para o caso da homologia Considere o produto tensorial de módulos . O teorema afirma que existe uma sequência exata curta envolvendo o functor Tor:
Além disso, essa sequência cinde (é cindida), embora não de forma natural. Aqui, é a aplicação induzida pela aplicação bilinear .
Se o anel de coeficientes for , este é um caso especial da sequência espectral de Bockstein.
Teorema dos coeficientes universais para cohomologia Seja um módulo sobre um domínio de ideais principais (por exemplo, ou qualquer corpo).
Existe um teorema dos coeficientes universais para a cohomologia envolvendo o functor Ext, que assegura a existência de uma sequência exata curta natural:
Assim como no caso da homologia, a sequência se cinde, embora não naturalmente. De fato, suponha que
e defina
Então, acima é a aplicação canônica:
Um ponto de vista alternativo pode basear-se na representação da cohomologia por meio do espaço de Eilenberg–MacLane, no qual a aplicação leva uma classe de homotopia de aplicações ao correspondente homomorfismo induzido na homologia. Assim, o espaço de Eilenberg–MacLane é um adjunto à direita fraco para o functor de homologia.
Exemplo: cohomologia mod 2 do espaço projetivo real Seja , o espaço projetivo real. Computa-se a cohomologia singular de com coeficientes em usando a homologia inteira, isto é, com .
Sabendo que a homologia inteira é dada por:
Tem-se e , de modo que as sequências exatas acima fornecem:
para todo . De fato, a estrutura completa do anel de cohomologia é dada por:
Corolários Um caso especial do teorema é o cálculo da cohomologia inteira. Para um complexo CW finito , o grupo é finitamente gerado e, portanto, admite a seguinte decomposição:
onde são os números de Betti de e é a parte de torção de . Pode-se verificar que:
e
Isso fornece o seguinte enunciado para a cohomologia inteira:
Para sendo uma variedade de dimensão orientável, fechada e conexa, este corolário combinado com a dualidade de Poincaré resulta em .
Sequência espectral dos coeficientes universais Existe uma generalização do teorema dos coeficientes universais para a (co)homologia com coeficientes torcidos.
Para a cohomologia, tem-se:
onde é um anel com unidade, é um complexo de cadeias de módulos livres sobre , é um -bimódulo para algum anel com unidade , e é o grupo Ext. O diferencial possui grau .
Analogamente, para a homologia:
sendo o grupo Tor e o diferencial possuindo grau .
Referências
Bibliografia
Ligações externas Teorema dos coeficientes universais com coeficientes em anel no MathStackExchange - em inglês
Categoria:Álgebra homológica