Em microeconomia, e especificamente na teoria do consumidor, a função de demanda marshalliana (também denominada função de demanda walrasiana), assim nomeada em homenagem aos economistas Alfred Marshall e Léon Walras, é uma função matemática que, para determinados preços de bens e um dado nível de renda, estabelece a quantidade de cada bem individual que deve ser consumida para se obter a maior utilidade possível.
miniatura|vertical=1.6|Fig. 1. Exemplo de uma função de demanda marshalliana no caso de dois bens: no eixo horizontal é representada a quantidade demandada do bem 1 e, no eixo vertical, o preço do bem 1. O preço do bem 2 (não representado no eixo) é mantido constante no gráfico, assim como a renda/orçamento
O ponto de partida das considerações que fundamentam a função de demanda marshalliana é o princípio da maximização da utilidade: um consumidor (tipicamente uma família ou indivíduo) decide autonomamente como alocar seu orçamento entre o consumo de diferentes bens comercializados a determinados preços. O plano de gastos varia conforme a alocação de sua renda. A premissa central da demanda marshalliana postula que o consumidor sempre escolhe exatamente aquele plano de gastos que prefere a todos os outros planos financeiramente viáveis. A demanda marshalliana descreve com exatidão esse plano de gastos ótimo ao especificar a quantidade que deve ser consumida de cada bem existente. Por se tratar de uma função, a demanda marshalliana descreve esse plano de gastos não apenas para um nível específico de renda e determinados preços, mas sim para todos os níveis possíveis de renda e preços dos bens.
O conceito de *função* de demanda marshalliana pode ser generalizado. Em termos mais amplos, fala-se em uma correspondência de demanda marshalliana (ou correspondência de demanda walrasiana). Nesse caso, o conceito matemático de função é substituído pelo de uma correspondência (função multivalorada), o que permite contemplar contextos em que um consumidor, diante de determinada renda e de certos preços de bens, pode dispor não apenas de um, mas de múltiplos planos ótimos de consumo.
Introdução não técnica Ideia da função de utilidade
Existem diversas maneiras de modelar a demanda dos consumidores por um bem. A escolha da abordagem mais adequada depende das premissas adotadas sobre a tomada de decisão de consumo. Poder-se-ia supor, por exemplo, que os consumidores escolhem aleatoriamente combinações de cestas de bens, independentemente do valor que atribuem a cada um deles; ou conceber a existência de um planejador central que recolhesse toda a renda dos indivíduos e lhes distribuísse cestas de mercadorias segundo critérios próprios. Contudo, o princípio fundamental da teoria da utilidade moderna postula que os consumidores decidem quanto consumir de determinado bem com base em suas preferências. Os consumidores possuem ordenações de preferência individuais; tal relação inclui, sobre todas as combinações possíveis de bens, a informação sobre se uma cesta é considerada ao menos tão desejável quanto, tão desejável quanto, ou no máximo tão desejável quanto outra cesta (por exemplo, uma cesta contendo "1 maçã, 1 banana, 0 laranjas e 2 mangas", e a ordenação de preferências indicando a avaliação dessa cesta em relação a "2 maçãs, 0 bananas, 1 laranja e 2 mangas").
Uma forma mais simples de expressar essa informação consiste em utilizar uma função matemática em vez de ordenações binárias complexas. Sob certas condições, é possível construir uma função de utilidade que atribui um número real a cada cesta de bens. Isoladamente, esse número não tem significado absoluto; seu valor decorre unicamente da comparação com os níveis de utilidade de outras cestas. Torna-se então evidente qual cesta o consumidor prefere: ao comparar duas cestas quaisquer, a utilidade de uma cesta é estritamente maior que a de uma cesta se, e somente se, o consumidor prefere estritamente a cesta à cesta .
Demanda marshalliana A demanda marshalliana articula essa proposição com um princípio correlato: um consumidor racional escolherá a cesta de bens "mais preferida" possível, o que, conforme exposto, equivale a dizer que ele busca alcançar o nível de utilidade mais elevado que puder. Todavia, o consumo não pode ocorrer de forma ilimitada. Todo consumidor está sujeito a uma restrição orçamentária, isto é, não pode adquirir cestas de bens cujo custo supere a sua renda diante dos preços vigentes. Dentre as cestas financeiramente acessíveis, ele seleciona exatamente aquela que lhe proporciona a maior utilidade. Suponha-se, para simplificar, a existência de apenas dois bens, denominados "bem 1" e "bem 2", comercializados no mercado aos preços e , respectivamente. O problema de maximização da utilidade do consumidor é expresso por:
sujeito a e
em que representa a renda disponível, as quantidades demandadas dos bens 1 e 2, e a função de utilidade do consumidor. Para tornar o problema analiticamente tratável, assume-se inicialmente que a função de utilidade seja contínua. Isso assegura que variações infinitesimais nas quantidades dos bens não provoquem saltos bruscos na utilidade resultante. Cabe observar que, como os preços e a renda são parâmetros variáveis no problema de otimização, a solução não consiste em uma cesta numérica fixa; qual cesta maximiza a expressão dependerá concretamente dos preços exatos e da renda disponível, de modo que a solução é expressa em função dessas variáveis.
A demanda ótima pelo bem 1 é denotada por e depende do preço do próprio bem, da renda disponível ao indivíduo e do preço do bem 2. Intuitivamente, essa dependência cruzada fica evidente quando se constata que a demanda maximizadora de utilidade por automóveis, por exemplo, varia dependendo de uma passagem de trem custar 500 reais ou 5 reais (o que não exclui a possibilidade de, em casos particulares, a demanda ser independente do preço do outro bem). Consequentemente, o problema de otimização resulta em valores ótimos para ambos os bens: (a demanda marshalliana pelo bem 1) e, analogamente, (a demanda marshalliana pelo bem 2).
Definição formal Denote-se por a quantidade demandada do bem () por um determinado consumidor, e represente-se pelo vetor a demanda associada a todos os bens. O preço de cada bem é estritamente positivo, para todo , definindo-se o vetor de preços da economia como . é o conjunto de todas as -tuplas de números reais com ; é o conjunto daquelas com .
A utilidade do consumidor é representada por uma função de utilidade contínua . O consumidor dispõe de uma renda orçamentária . Considere-se o problema de maximização da utilidade sob a restrição orçamentária: sujeito a
Definição: Sejam contínua, , e . Denomina-se a correspondência , definida por , designa o argumento do máximo. correspondência de demanda marshalliana (também denominada correspondência de demanda walrasiana).
Se o problema de maximização apresentar um conjunto de soluções unitário (isto é, uma solução única) para cada tupla , a aplicação é denominada função de demanda marshalliana (ou função de demanda walrasiana).
Uma correspondência é uma função multivalorada. Enquanto uma função em sentido estrito associa a cada elemento do domínio *um único elemento* do contradomínio (aqui, o conjunto de cestas de bens), uma correspondência associa a cada elemento do domínio *um subconjunto* do contradomínio. A função de demanda marshalliana pode, portanto, ser compreendida como um caso particular da correspondência de demanda no qual a cada tupla corresponde um subconjunto estritamente unitário.
Outras formulações para a definição da correspondência de demanda marshalliana também são usuais na literatura:
sendo
o conjunto orçamentário (conjunto de oportunidades viáveis). Em termos textuais: a demanda marshalliana a um dado vetor de preços e a uma dada renda corresponde exatamente ao conjunto das cestas viáveis com a propriedade de que qualquer outra cesta que proporcione utilidade estritamente maior teria um custo tão elevado que violaria a restrição orçamentária.
Propriedades gerais Existência e compacidade A correspondência de demanda marshalliana é não vazia e de valores compactos (compacto-valorada).Sejam e dois espaços métricos. Diz-se que uma correspondência é compacto-valorada (ou tem valores compactos) se for um subconjunto compacto de para todo .
Para demonstrar que a correspondência de demanda é não vazia, basta provar que o conjunto orçamentário é compacto.Sobre a demonstração seguinte, ver: Kreps (2012), p. 53; Mas-Colell, Whinston e Green (1995), pp. 50–51. Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua definida sobre um conjunto compacto atinge sempre um ponto de mínimo e um ponto de máximo global; logo, o problema de maximização da utilidade possui ao menos uma solução para qualquer . Como subconjunto de , o conjunto orçamentário (não vazio) é compacto se, e somente se, for limitado e fechado (Teorema de Heine-Borel). Essas condições são atendidas: é limitado porque, pela hipótese de preços estritamente positivos, tem-se necessariamente e, simultaneamente, para todo e para todo ; e é fechado porque é definido por meio de desigualdades não estritas (fracas).Ambas as propriedades decorrem também diretamente do Teorema do Máximo de Berge, detalhado adiante na seção sobre continuidade.
Convexidade e unicidade (propriedade de função) 1. Se a função de utilidade for quase-côncava, a correspondência de demanda marshalliana será convexo-valorada (terá valores convexos).2. Se a função de utilidade for estritamente quase-côncava, a correspondência de demanda marshalliana será unitária para todo ; em outras palavras, é uma função.
Quanto a essas duas propriedades, nota-se que a relação de preferência subjacente a uma função de utilidade quase-côncava é convexa; e para (2), a relação de preferência subjacente a uma função estritamente quase-côncava é estritamente convexa.Cf., por exemplo, Kreps (2012), p. 34. Observe-se, contudo, que para (1) e (2) não basta pressupor apenas a convexidade (ou estrita convexidade) da relação de preferência. Embora a convexidade (estrita) de implique, reciprocamente, que qualquer função de utilidade representativa seja (estritamente) quase-côncava,A esse respeito, ver Kreps (2012), p. 34. nem toda relação de preferência (estritamente) convexa admite representação por função de utilidade contínua a valores reais. Como exemplo clássico apresentado por Debreu (1959), as preferências lexicográficas são estritamente convexas, mas não podem ser representadas por uma função de utilidade contínua. Não obstante, é possível formular os conceitos aqui introduzidos diretamente sobre relações de preferência, prescindindo de uma função de utilidade representativa.Cf., por exemplo, James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlim, 2007, cap. 4; Ariel Rubinstein: Lecture Notes in Microeconomic Theory. Aula 5.A demonstração de (1) decorre da análise de duas cestas , com . Pela definição da demanda marshalliana, tem-se de início que . Denote-se esse nível de utilidade por . Para uma função de utilidade quase-côncava, tem-se por definição que, definindo , vale para todo . Ademais, , pois e pela definição da demanda marshalliana. Consequentemente, . Disso e de conclui-se que . Portanto, é um conjunto convexo.Para (2) (demonstração por contradição): tomem-se novamente duas cestas distintas , com . Como antes, . A estrita quase-concavidade implica, todavia, que para todo , o que gera uma contradição com a hipótese de otimalidade de .
Homogeneidade A correspondência de demanda marshalliana é homogênea de grau zero em , isto é, para todo e para todo .