250px|direita|thumb|Hermann Minkowski (1864–1909) descobriu que a teoria da relatividade restrita poderia ser melhor compreendida como um espaço quadridimensional, desde então conhecido como o espaço-tempo de Minkowski. Na física, o espaço-tempo de Minkowski (ou espaço de Minkowski; )"Minkowski" . Random House Webster's Unabridged Dictionary. é a principal formulação matemática do espaço-tempo na ausência de gravitação (isto é, fora do escopo da relatividade geral). Ele unifica as variedades inerciais do espaço e do tempo em um modelo quadridimensional.
Esse modelo demonstra como o intervalo espaço-temporal entre quaisquer dois eventos independe do referencial inercial no qual eles são medidos. O matemático Hermann Minkowski desenvolveu-o a partir das formulações de Hendrik Lorentz, Henri Poincaré e outros, asseverando que ele «brotou do solo da física experimental».
O espaço-tempo de Minkowski acha-se intimamente vinculado às teorias da relatividade restrita e da relatividade geral de Albert Einstein, constituindo a estrutura matemática formal predominante da relatividade restrita. Conquanto os componentes espaciais e temporais isolados difiram entre observadores no espaço euclidiano em virtude da contração do comprimento e da dilatação do tempo, no espaço-tempo de Minkowski todos os referenciais inerciais concordam quanto ao intervalo total entre os eventos.Isto faz da separação espaço-temporal um invariante. O espaço-tempo de Minkowski distingue-se do espaço euclidiano quadridimensional por conferir ao tempo um tratamento matemático diferenciado em relação às três dimensões espaciais.
No espaço euclidiano tridimensional, o grupo de isometrias (as transformações que preservam a distância euclidiana convencional) é o grupo euclidiano, gerado por rotações, reflexões e translações. Ao incorporar o tempo como uma quarta dimensão, adicionam-se as translações temporais e os boosts de Lorentz; o grupo que reúne a totalidade dessas transformações é denominado grupo de Poincaré. O modelo de Minkowski segue os postulados da relatividade restrita, nos quais o movimento relativo acarreta dilatação do tempo, alterando a escala do referencial móvel e defasando a fase da luz.
O espaço-tempo de Minkowski é um espaço pseudo-euclidiano dotado de uma forma quadrática isotrópica denominada intervalo espaço-temporal ou o quadrado da norma de Minkowski. No espaço euclidiano, a distância entre dois pontos distintos é estritamente positiva, ao passo que no espaço-tempo de Minkowski o intervalo entre dois eventos distintos pode ser nulo. Tal fenômeno ocorre quando um evento localiza-se sobre o cone de luz do outro. Mediante a identidade de polarização, essa forma quadrática converte-se em uma forma bilinear simétrica denominada produto interno de Minkowski, muito embora não constitua um produto interno geométrico genuíno (por ser indefinida).
O grupo de transformações do espaço-tempo de Minkowski que preserva o intervalo espaço-temporal invariante (em oposição à distância espacial euclidiana) é o grupo de Lorentz (em contraste com o grupo de Galileu).
História
Geometria das transformações de Lorentz
Na década de 1890, Hendrik Lorentz desenvolveu formulações eletrodinâmicas assentadas na premissa de um éter luminífero pervasivo e desvinculado da matéria ordinária. Em uma sucessão de artigos publicados entre 1892 e 1904, Lorentz empregou as transformações que levariam o seu nome como ferramentas matemáticas auxiliares na análise de suas equações. Diversos outros físicos participaram do refinamento dessas operações. Minkowski conhecia em detalhe as publicações de Henri Poincaré, sobretudo o seu segundo artigo de 1905 sobre relatividade. Naquele trabalho, Poincaré demonstrou Tradução no Wikisource: On the Dynamics of the Electron que, ao tratar o tempo como uma quarta coordenada imaginária — onde é a velocidade da luz e é a unidade imaginária —, as transformações de Lorentz podiam ser interpretadas geometricamente como rotações ordinárias de uma esfera quadridimensional, na qual o eixo de rotação aponta na direção do movimento relativo e o ângulo de rotação correlaciona-se com a velocidade relativa entre os observadores.
Como parte de sua investigação, Poincaré caracterizou os invariantes sob essa rotação quadridimensional, destacando a grandeza
em que denotam as diferenças de coordenadas entre pontos no espaço de quatro dimensões, tratando-as como distâncias. (A soma dos três primeiros termos corresponde ao quadrado da distância euclidiana no espaço tridimensional, invariante sob rotações espaciais). Esse conceito de invariantes métricos como distâncias foi aprofundado por Minkowski em um artigo em alemão publicado em 1908, intitulado «As Equações Fundamentais para os Processos Eletromagnéticos em Corpos em Movimento». Tradução no Wikisource: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies O trabalho introduziu formalmente o cálculo de tensores na descrição matemática da física relativística e reescreveu as equações de Maxwell sob a forma de um sistema simétrico de equações nas quatro variáveis , integrando variáveis vetoriais redefinidas para as grandezas eletromagnéticas. Ele demonstrou categoricamente a invariância dessas leis sob transformações de Lorentz. A partir dessa reformulação, concluiu que tempo e espaço deviam ser tratados em pé de igualdade, consolidando o conceito de eventos desenrolando-se em um contínuo espaço-temporal quadridimensional unificado.
Conferência «Espaço e Tempo» Em 1908, Minkowski expôs suas teses em uma conferência proferida em Colônia, diante de uma assembleia internacional de matemáticos e físicos. A conferência celebrizou-se sob o título «Espaço e Tempo», vindo a ser publicada postumamente em diferentes formatos. Tradução no Wikisource: Space and Time Minkowski iniciou a sua alocução com as palavras que se tornariam célebres na história da ciência:
Não obstante o ponto de partida fincado na física empírica, a conferência dedicou-se essencialmente à fundamentação matemática. Minkowski enfatizou as vantagens da representação quadrivetorial de coordenadas e velocidades. Introduziu o diagrama de Minkowski, empregando-o para elucidar conceitos e deduzir propriedades das transformações de Lorentz (como o tempo próprio e a contração do comprimento), conferindo interpretação geométrica à extensão da mecânica newtoniana para o regime da mecânica relativística. Com isso, o arcabouço matemático deixou de figurar como mero artifício computacional, assumindo o papel de revelador de aspectos objetivos da realidade física.
Impacto
Sob a perspectiva do próprio Minkowski, a publicação de Einstein de 1905 estabelecera o tempo como uma grandeza local, consequência direta da relatividade da simultaneidade. Minkowski compreendia a sua contribuição pessoal como a redefinição conceitual da própria natureza do espaço. O espaço-tempo concebido por Minkowski, originado na análise da eletrodinâmica, converteu-se na base angular da mecânica relativística.
O tratamento geométrico quadridimensional consolidou-se como a linguagem operacional padrão da relatividade. O próprio Minkowski evidenciou que a densidade de corrente tridimensional, , funde-se à densidade de carga, , formando um quadrivetor de corrente. O campo elétrico tridimensional, , e o campo magnético tridimensional, , unificam-se no tensor eletromagnético quadridimensional. Tal formalismo torna transparente que as componentes e se convertem mutuamente em conformidade com o referencial inercial do observador.
Embora Minkowski houvesse formulado um marco capital para a física, Albert Einstein acolheu a abordagem inicialmente com ceticismo, qualificando-a com ironia de «erudição supérflua». A formulação original de Minkowski excluía a gravitação, problema que Einstein sabia ser imperativo solucionar.Cornelius Lanczos (1972) "Einstein's Path from Special to General Relativity", páginas 5–19 de General Relativity: Papers in Honour of J. L. Synge, L. O'Raifeartaigh editor, Clarendon Press, ver página 11.
Estrutura causal
250px|thumb|direita|Subdivisão do espaço-tempo de Minkowski em relação a um evento em quatro conjuntos disjuntos: o cone de luz, o futuro causal (ou futuro absoluto), o passado causal (ou passado absoluto) e o alhures (região de separação espacial). A terminologia segue e Estrutura causal.
Designando como velocidade, , e como coordenadas cartesianas no espaço tridimensional, como a constante da velocidade da luz e como o tempo, o vetor quadridimensional é classificado de acordo com o sinal algébrico de . Um vetor é classificado como: tipo tempo (timelike) se ; tipo espaço (spacelike) se ; e nulo ou tipo luz (lightlike) se .
Essa relação pode ser expressa em função do sinal do produto escalar , dependente da convenção de assinatura adotada. A classificação de qualquer vetor permanece invariável em todos os referenciais relacionados por transformações de Lorentz (embora não por uma transformação arbitrária de Poincaré que translade a origem), em decorrência da invariância do intervalo de espaço-tempo.
O conjunto de todos os vetores nulos associados a um dado eventoTransladando o sistema de coordenadas de modo que o evento coincida com a nova origem. no espaço-tempo de Minkowski constitui o cone de luz desse evento. Dado um vetor de tipo tempo , associa-se a ele uma linha de universo de velocidade constante, representada por uma reta no diagrama de Minkowski.
Fixado um sentido para o tempo,Isto corresponde a admitir que a coordenada temporal cresce quando o tempo próprio de uma partícula aumenta. A aplicação do operador de reversão temporal inverte essa orientação. os vetores de tipo tempo e nulos podem ser decompostos em classes direcionadas: Vetores de tipo tempo orientados para o futuro, cuja primeira componente é positiva (o vértice do vetor situa-se no futuro causal ou absoluto na figura); Vetores de tipo tempo orientados para o passado, cuja primeira componente é negativa (situados no passado causal ou absoluto).
Os vetores nulos distribuem-se em três categorias: O vetor nulo zero, cujas componentes em qualquer base são (a origem); Vetores nulos orientados para o futuro, com primeira componente positiva (borda do cone de luz superior); Vetores nulos orientados para o passado, com primeira componente negativa (borda do cone de luz inferior).
Somados aos vetores de tipo espaço, obtêm-se ao todo 6 classes de vetores.
Uma base ortonormal para o espaço-tempo de Minkowski compõe-se necessariamente de um vetor unitário de tipo tempo e três vetores unitários de tipo espaço. Caso se opere com bases não ortonormais, outras configurações são possíveis. Pode-se construir, por exemplo, uma base não ortonormal constituída integralmente por vetores nulos, denominada base nula.
Campos de vetores são qualificados como de tipo tempo, tipo espaço ou nulos se os vetores correspondentes preservarem tal propriedade em cada ponto do domínio em que o campo se acha definido.
Propriedades dos vetores de tipo tempo Os vetores de tipo tempo revestem-se de particular relevância na relatividade, visto que correspondem a eventos alcançáveis por um observador na origem (0, 0, 0, 0) a velocidades inferiores à da luz. Destacam-se os vetores de tipo tempo de mesma orientação, isto é, contidos conjuntamente no cone futuro ou no cone passado. Tais vetores exibem propriedades geométricas exclusivas, decorrentes do fato de os cones de luz futuro e passado serem conjuntos convexos, propriedade ausente na região de separação espacial.
Produto escalar O produto escalar de dois vetores de tipo tempo e expressa-se por: