O teste da comparação ou 1º critério de comparação, estabelece um método para aferir a convergência de séries positivas, ou para a convergência absoluta.
Sejam as séries de termos não negativos (números reais):
Então se , para todo o (i.e: a partir de uma dada ordem), e se a segunda série converge, então a primeira também converge (e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge, então a segunda também diverge.
Podemos também estabelecer que se , então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.
2º critério da comparação
Consideramos as séries acima descritas e ainda o seguinte limite:
se as séries e têm a mesma natureza. se
(a) se converge, então converge
se
(a) se converge, então converge
Demonstração Observe cuidadosamente que a segunda afirmação implica a primeira. Demonstremos a primeira:
Suponha que seja convergente. Ou seja, as somas parciais formam uma sequência convergente: é uma sequência convergente e portanto de Cauchy. Denote:
Queremos mostrar que é uma sucessão de Cauchy. Para tal estime:
Use a desigualdade triangular:
Sendo uma sucessão de Cauchy, também o é.
Exemplos Seja a série fatorial que define o número de Euler:
Denote por e as somas parciais e o resíduo de ordem N:
Vamos mostrar que a série converge e ainda extrairemos uma estimativa para o erro:
Como
Assim comparamos:
Usando a soma da série geométrica, temos:
Categoria:Testes de convergência
fr:Série convergente#Principe général : règles de comparaison