thumb|Edição de 1670 de "A Arithmetica de Diofanto" em que está incluso o famoso comentário de Fermat (“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet [Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito pequena para contê-la]”), que ficou conhecido como "Último teorema" (Observatio Domini Petri de Fermat). O Último Teorema de Fermat é um famoso teorema matemático conjecturado pelo matemático francês Pierre de Fermat em 1637. Trata-se de uma generalização do famoso Teorema de Pitágoras, que diz "a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa": ()

Ao propor seu teorema, Fermat substituiu o expoente 2 na fórmula de Pitágoras por um número natural maior do que 2 (), e afirmou que, nesse caso, a equação não tem solução, se n for um inteiro maior do que 2 e (x,y,z) naturais (inteiros > 0).

Fermat relatou ter desenvolvido um teorema para provar essa hipótese, mas nunca o publicou. Assim, esta conjectura ficou por demonstrar e constituiu um verdadeiro desafio para os matemáticos ao longo dos tempos, apesar de parecer simples e o enunciado ser fácil de entender. Desta forma, ele passou a ser conhecido como o mais famoso e duradouro teorema matemático de seu tempo, sendo solucionado apenas em 1995 (pelo britânico Andrew Wiles, com a ajuda de Richard Taylor), após 358 anos de sua formulação. Por isso, este teorema passou a ser chamado também por Teorema de Fermat-Wiles.

Em 1995, o teorema foi incluído no Guinness Book como "o mais intrincado problema matemático da história".

A busca pela solução do teorema propiciou a criação da Teoria algébrica dos números, no século XIX, e do Teorema de Shimura-Taniyama-Weil no século XX. Por isso, segundo a revista Super Interessante, "apesar de diretamente o teorema não ter efeitos práticos para a humanidade, indiretamente, a secular busca dessas fórmula mítica permitiu o desenvolvimento de inúmeras poderosas e sofisticadas ferramentas de trabalho que enriqueceram bastante a matemática moderna."super.abril.com.br/ Desvendando o mistério último Teorema de Fermat

Pierre de Fermat thumb|direita|200px|Pierre de Fermat - Século XVII Pierre de Fermat nasceu em 17 de agosto de 1601, em Beaumont-de-Lomagne, na França. O filho de Dominique Fermat e Claire de Long, frequentou a Universidade de Orléans de 1623 a 1626. Casou -se com a prima de sua mãe, Loise de Long, em 1631, com a qual teve 3 filhos e 2 filhas.

Fermat era conhecido como "Príncipe dos Amadores", e compartilhava suas ideias matemáticas com matemáticos da época. Como seu epíteto diz, Fermat se tratava de um amador, e seus trabalhos e conceitos eram construídos em seus momentos de lazer. Provavelmente seu interesse pela Matemática se despertou ao conhecer a tradução de CG Bachet (1621), de Diofanto de Alexandria.

A Origem do Último Teorema de Fermat miniaturadaimagem|Pierre de Fermat Fermat costumava apresentar a outros matemáticos desafios, que os deixavam fascinados na tentativa de solucioná-los. Com o passar do tempo, foi se aperfeiçoando, o que o fez desenvolver uma proposição semelhante ao teorema de Pitágoras, porém não havia solução.

Como o matemático possuía a prática de fazer apenas anotações informais sobre seus estudos, o único indício de uma prova deste teorema é uma observação por ele deixada em 1637 em um de seus livros, “Aritmética”, de Diofante.

Esta anotação foi descoberta pelo seu filho alguns anos após sua morte, e junto a outros comentários de Fermat, foi publicada em 1670 numa edição comentada do livro em questão, contendo observações por P. de Fermat. O livro apresentava 48 observações sem, no entanto, solucionar as demonstrações, que foram provadas ao longo do tempo, menos uma, que justamente por ter sido a última, ficou conhecida como o Último Teorema de Fermat.MOREIRA CALAES, Antônio, Teorema de Fermat – Resumo Histórico.FERMAT, Pierre, Arithmetica de Diofanto Contendo Observações por P. de Fermat, 1.ed. 1670.MARCONDES CÉSAR, Roberto, Resenha – O Último Teorema de Fermat.

Soma de dois números inteiros Seja os números e seja a soma de dois números inteiros com .

Estas somas formam a tabela abaixo:

Para temos : ou seja , neste caso a soma indicada no lado esquerdo da expressão chamaremos de proposição , e o resultado indicado no lado direito da expressão chamaremos de solução .

Então neste caso, vemos na tabela acima que para cada proposição temos apenas uma solução exclusiva, de tal forma que o número de proposições é igual ao número de soluções, e podemos afirmar que

Para temos: , neste caso a expressão representa a tese do teorema de Pitágoras.

Observando a tabela acima vemos que o primeiro resultado válido ocorre somente na nona linha com a soma e somente este resultado em toda a nona linha satisfaz a expressão dada.

Depois disso nós encontramos na linha apenas uma soma que satisfaz a expressão, que é: , e assim nas suas respectivas linhas os ternos pitagóricos primitivos e seus múltiplos satisfazem a expressão..

Então vemos que na tabela de todas as somas de dois números inteiros, apenas uma fração muito pequena das proposições chega a uma solução que satisfaz a expressão , então podemos afirmar que .

Diante disso Fermat conjecturou que para a relação , ou seja, a soma de dois números inteiros , com cada um deles elevado a uma potencia , não pode ser escrita como um número inteiro elevado a esta potência.

Tentativas de Solução +Cronologia Ano Acontecimento 1665 Morte de Fermat.Ele esboçou uma demostração para o caso de 1753 Leonhard Euler demostrou o caso para 1825 Adrien-Marie Legendre demostrou o caso para 1832 Dirichlet demostrou o caso para 1839 Lamé demostrou o caso para mas esta não estava completamente certa 1843Ernst Kummer afirma ter provado o teorema, porémDirichlet encontra um erro. Na tentativa de demonstrá-lo, Kummer criouo método dos divisores complexos, a que chamounúmeros complexos ideais, contribuindo parao desenvolvimento da teoria dos números. 1908 Criação do Prêmio Wolfskehl 1957 Os japoneses Yutaka Taniyama e Goro Shimuraformulam a Conjectura de Shimura-Taniyama 1980 O estadunidense Wagstaff demonstra que o teoremaé válido para todo o n até 125 000. 1988 O japonês Yoichi Miyaoka apresenta uma solução para o problema,porém com alguns erros. 1993 O britânico Andrew Wiles publica uma demonstração do teorema,porém ainda com alguns erros. 1995 O britânico Andrew Wiles, com colaboração de Richard Taylor, finalmente publica a demonstração definitiva do teorema.

Analisando observações sobre o Teorema de Pitágoras, Fermat observa a equação  x² +y² = z². Ao tentar substituir o expoente "2" pelo número "3", nota que não há solução. Prosseguiu substituindo o número que representava a potência por números maiores que 3, e continuou sem obter solução. Com isso, chegou a uma equação generalizada, em que n representa os números 3, 4, 5, ...que também não possuíam solução.

Fermat então escreveu:

"É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente”.

Possivelmente, Fermat teria encontrado a solução para a proposição, pois este teria divulgado a seguinte nota:

“Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro”.

Durante os séculos XVIII, XIX e início do século XX, vários matemáticos brilhantes tentaram solucionar o Último Teorema de Fermat, embora esses esforços tenham terminado em fracasso, eles levaram à criação do maravilhoso arsenal de ferramentas e técnicas matemáticas que foram vitais para as últimas tentativas de se conseguir uma demonstração.

Foram aproximadamente 358 anos de tentativas de solucionar ou provar a incoerência do problema. Dentre os grandes matemáticos que tentaram solucionar o problema ao longo dos tempos, podemos mencionar: Euler, Dirichlet (1828), Legendre (1830), Gabriel Lamé (1839), Sophie Germain, Kummer e mais recentemente, Wagstaff (1980).

O Teorema alcançou grande popularidade pela sua resistência aos poderosos métodos de demonstração da teoria dos números e por ter sido objecto de vários concursos públicos que envolviam avultadas recompensas.

Nos finais do século XIX, o problema ganhou uma nova vida. Paul Wolfskehl, um industrial alemão e professor da Real Academia de Göttingen, Alemanha, estava desesperado com o terminar de uma relação amorosa, e decidiu suicidar-se. Na noite anterior ao dia que tinha reservado para a consumação do fato, estava a ler uma demonstração fracassada do teorema de fermat, e descobriu um erro de lógica. Passou o resto da noite a corrigir o erro, e quando terminou sentiu-se orgulhoso com o seu trabalho. A demonstração não levava a lado nenhum, mas ele tinha perdido a vontade de morrer, e ganho um novo gosto pela matemática. Morreu em 1908, e deixou uma grande parte da sua fortuna para quem conseguisse resolver o Último Teorema de Fermat. Nascia o Prêmio Wolfskehl.

Depois disso, passaram a ser enviadas para a Academia, um grande número de soluções incorretas, incluindo algumas de matemáticos profissionais, que chegaram mesmo a publicá-las. Sem excepção, em todas elas foram descobertas algumas falhas. Por conta disso, o historiador de matemática Howard Eves afirmou que o Último Teorema de Fermat tem a distinção peculiar de ser o problema matemático para o qual foram publicados o maior número de provas incorretas.

Com o advento dos computadores, foram testados milhões de algarismos com diferentes valores para x, y, z e n e a igualdade  xn + yn = zn não se verificou. Assim, empiricamente, se comprova que Fermat tinha razão. Mas ainda faltava prová-la.

Para se ter uma ideia da dificuldade do problema, o primeiro avanço na direção da prova do Último Teorema de Fermat foi apresentado por Leonard Euler em 1770, após 133 anos do enunciado de Fermat. Ele apresentou a solução para n=3.

A primeira contribuição relevante para o problema foi dada pelos matemáticos Yutaka Taniyama e Goro Shimura, que embora não tivessem a intenção de solucionar o Teorema, acabaram contribuindo significativamente para tal.

A Conjectura construída pelos dois matemáticos diz que, para cada equação elíptica, há uma forma modular correspondente. Isso implica que, se a mesma estivesse correta, ela poderia ser aplicada ao Último Teorema de Fermat, provando a sua veracidade. Ou seja, para provar se o Último Teorema de Fermat era verdadeiro ou não, tornava-se necessário provar a conjectura Taniyama-Shimura, e foi o que Andrew Wiles fez.

Solução do Teorema

O britânico Andrew Wiles teve seu primeiro contato com o teorema em 1963, quando ainda estava com dez anos de idade. Ele ficou fascinado com o facto de um problema aparentemente simples não ter tido solução em trezentos anos, e desde então prometeu a si mesmo demonstrá-lo. Fermat. Resolver um problema com 300 anos valeu “Nobel da Matemática” Ele leu a proposição no livro "O Último Problema", de Eric Temple Bell.

Em 1986, 3 anos após tornar-se professor na Universidade de Princeton, Wiles passou a dedicar-se ao teorema. Mas, temendo que alguém pudesse aproveitar-se de suas tentativas, fazia os cálculos apenas com lápis e papel.

Em 23 de junho de 1993, em uma Conferência no Sir Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences em Cambridge, após 356 anos desde a apresentação do teorema, Wiles faz o anúncio da descoberta de sua demonstração. As provas foram apresentadas numa conferência internacional em Hong Kong, cujo título foi “Formas modulares, curvas elípticas e representações galoisianas”. Assim que terminou a palestra em Cambridge o comitê Wolfskehl foi informado da demonstração de Wiles.