thumb|300px|O gráfico da função de Weierstrass é um fractal A função de Weierstrass é um importante contra-exemplo de uma função contínua em toda a reta real que não possui derivada em nenhum ponto do domínio. Recebe o nome em homenagem ao seu descobridor: o matemático Karl Weierstrass. A função de Weierstrass é primeira função publicada a apresentar tal patologia.
Embora seja considerada por muitos como um caso patológico, pode-se afirmar que, em certo sentido, o comportamento da função de Weierstrass é o caso mais comum. Sendo o conjunto das funções diferenciáveis em pelo menos um ponto um conjunto magro dentro do espaço de Banach das funções contínuas com a norma do supremo.
Definição A função de Weierstrass é definida pela seguinte série de Fourier:
onde e é um inteiro positivo ímpar tal que:
Nova Demonstração do Teorema de Weierstrass
O nosso objetivo aqui é apresentar uma demonstração do teorema de Weierstrass
usando apenas noções relativas às séries de Fourier.
Teorema de Weierstrass
A função dita de Weierstrass definida por :
onde e é um inteiro positivo ímpar tal que ,é contínua em e não diferenciável em qualquer ponto.
Demonstração do Teorema de Weierstrass
Continuidade de W
Observe que :
implica :
.
Isso junto com
nos permite estabelecer , usando o Weierstrass , que
converge uniformemente para em .
A Continuidade de vem então da convergência uniforme das séries.
(Definição 2.41 e Teorema 2.59 do livro ).
Não Diferenciabilidade de W (em qualquer ponto)
Aqui, usamos os lemas 3.2 e 3.3 do Capítulo 4 do livro de Shakarchi
Quando:
, então
Supondo que é diferenciável em , obtemos o seguinte resultado :
,
ou seja,
, onde .
Para obter a contradição, precisamos apenas escolher de modo que:
Tomando:
,
onde
,
para algum , temos:
quando ,
pois
.
Contradição,
pois :
.
Portanto, não é diferenciável em .
Como é arbitrário,
temos que não é diferenciável em qualquer ponto.
Conclusão
A função de Weierstrass é contínua em todos os pontos de
mas não é diferenciável em qualquer ponto de .
Ligações externas http://www.wolframalpha.com/entities/mathworld/weierstrass_function/ei/zb/8y/
Ver também Função de Liouville Função de Mertens Soma de Ramanujan
Referências Harmonic Analysis:from Fourier to Wavelets / María Cristina Pereyra , Lesley A. Ward/ ISBN 978-0-8218-7566-7 Fourier Analysis:An introduction /Shakarchi; pp 116–117
Categoria:Fractais Categoria:Análise real Weierstrass Categoria:Funções contínuas