miniaturadaimagem|A fórmula quadrática expressa a solução de uma equação , onde a é diferente de zero, em termos dos coeficientes a, b e c.
A álgebra é um ramo da matemática que lida com sistemas abstratos, conhecidos como estruturas algébricas, e com a manipulação de expressões dentro desses sistemas. É uma generalização da aritmética que introduz variáveis e operações algébricas além das operações aritméticas padrão, como a adição e a multiplicação.
A álgebra elementar é a principal forma de álgebra ensinada nas escolas. Ela examina sentenças matemáticas usando variáveis para valores não especificados e procura determinar para quais valores as sentenças são verdadeiras. Para isso, utiliza diferentes métodos de transformação de equações para isolar variáveis. A álgebra linear é um campo intimamente relacionado que investiga equações lineares e as suas combinações, chamadas de sistemas de equações lineares. Fornece métodos para encontrar os valores que resolvem todas as equações do sistema ao mesmo tempo e para estudar o conjunto dessas soluções.
A álgebra abstrata estuda estruturas algébricas, que consistem em um conjunto de objetos matemáticos juntamente com uma ou várias operações definidas nesse conjunto. É uma generalização da álgebra elementar e linear, pois permite objetos matemáticos além de números e operações não aritméticas. Distingue entre diferentes tipos de estruturas algébricas, como grupos, anéis e corpos, com base no número de operações que utilizam e nas leis que seguem, chamadas de axiomas. A álgebra universal e a teoria das categorias fornecem estruturas gerais para investigar os padrões abstratos que caracterizam diferentes classes de estruturas algébricas.
Os métodos algébricos foram inicialmente estudados na Antiguidade para resolver problemas específicos em campos como a geometria. Isso mudou no com Alcuarismi, que sistematizou a álgebra como uma disciplina matemática independente, distinta da geometria. Os primeiros matemáticos descreviam equações e as suas soluções usando palavras e abreviaturas até os séculos XVI e XVII, quando um rigoroso formalismo simbólico foi desenvolvido. Em meados do , o escopo da álgebra ampliou-se para além de uma teoria das equações, passando a abranger diversos tipos de operações e estruturas algébricas. A álgebra é relevante para muitos ramos da matemática, como a geometria, a topologia, a teoria dos números e o cálculo, e outros campos de investigação, como a lógica e as ciências empíricas.
Definição e etimologia A álgebra é o ramo da matemática que estuda as estruturas algébricas e as operações que elas utilizam. Uma estrutura algébrica é um conjunto não vazio de objetos matemáticos, como os inteiros, juntamente com operações algébricas definidas nesse conjunto, como a adição e a multiplicação. A álgebra explora as leis, as características gerais e os tipos de estruturas algébricas. Dentro de certas estruturas algébricas, examina o uso de variáveis em equações e como manipular essas equações.
A álgebra é frequentemente entendida como uma generalização da aritmética. A aritmética estuda operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, num domínio particular de números, como os números reais. A álgebra elementar constitui o primeiro nível de abstração. Assim como a aritmética, restringe-se a tipos específicos de números e operações. Ela generaliza essas operações permitindo quantidades indefinidas na forma de variáveis além de números. Um nível maior de abstração é encontrado na álgebra abstrata, que não se limita a um domínio particular e examina estruturas algébricas como grupos e anéis. Ela estende-se além das operações aritméticas típicas, abrangendo também outros tipos de operações. A álgebra universal é ainda mais abstrata, na medida em que não se interessa por estruturas algébricas específicas, mas investiga as características das estruturas algébricas em geral.
upright=.8|thumb|alt=Página de título de O Livro Compendioso sobre Cálculo por Conclusão e Balanceamento|A palavra álgebra vem do título do livro de Alcuarismi Al-Jabr.
O termo álgebra às vezes é usado em um sentido mais restrito para se referir apenas à álgebra elementar ou apenas à álgebra abstrata. Quando usado como um substantivo contável, uma álgebra é um tipo específico de estrutura algébrica que envolve um espaço vetorial equipado com um certo tipo de operação binária, uma aplicação bilinear. Dependendo do contexto, "álgebra" também pode se referir a outras estruturas algébricas, como uma álgebra de Lie ou uma álgebra associativa.
A palavra álgebra tem origem no termo em árabe الجبر (al-jabr), que originalmente se referia ao tratamento cirúrgico de ajuste de ossos fraturados. No , o termo recebeu um significado matemático quando o matemático persa Alcuarismi o empregou para nomear um método de transformação de equações e o utilizou no título do seu tratado al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah (O Livro Compendioso sobre Cálculo por Conclusão e Balanceamento), que foi traduzido para o latim como Liber Algebrae et Almucabola. A palavra entrou na língua portuguesa (e em outros idiomas europeus) através do espanhol, do italiano e do latim medieval. Inicialmente, o seu significado estava restrito à teoria das equações, isto é, à arte de manipular equações polinomiais com vista à sua resolução. Isto mudou no , quando o escopo da álgebra se ampliou para cobrir o estudo de diversos tipos de operações e estruturas algébricas em conjunto com os seus axiomas subjacentes, as leis que elas seguem.
Classificação De uma forma geral pode-se organizar a álgebra como:
Álgebra universal; Álgebra abstrata; Álgebra elementar; Álgebra computacional; Álgebra linear.
Principais ramos Álgebra elementar
thumb|right|class=skin-invert-image|alt=Diagrama de uma expressão algébrica|Notação de expressões algébricas: 1 – potência (expoente) 2 – coeficiente 3 – termo 4 – operador 5 – termo constante – constante – variáveis
A álgebra elementar, também chamada de álgebra escolar, álgebra universitária e álgebra clássica, é a forma mais antiga e básica de álgebra. É uma generalização da aritmética que se baseia em variáveis e examina como as sentenças matemáticas podem ser transformadas.
A aritmética é o estudo das operações numéricas e investiga como os números são combinados e transformados usando as operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação, extração de raízes e logaritmo. Por exemplo, a operação de adição combina dois números, chamados de parcelas, num terceiro número, chamado de soma, como em .
A álgebra elementar baseia-se nas mesmas operações, ao mesmo tempo em que permite variáveis além dos números regulares. As variáveis são símbolos para quantidades não especificadas ou desconhecidas. Elas possibilitam enunciar relações para as quais não se sabe os valores exatos e expressar leis gerais que são verdadeiras, independentemente de quais números sejam usados. Por exemplo, a equação pertence à aritmética e expressa uma igualdade apenas para estes números específicos. Ao substituir os números por variáveis, é possível expressar uma lei geral que se aplica a qualquer combinação possível de números, como a propriedade comutativa da multiplicação, que é expressa na equação .
As expressões algébricas são formadas usando operações aritméticas para combinar variáveis e números. Por convenção, as letras minúsculas , e representam variáveis. Em alguns casos, são adicionados subscritos para distinguir as variáveis, como em , e . As letras minúsculas , e são geralmente usadas para constantes e coeficientes. A expressão é uma expressão algébrica criada multiplicando-se o número 5 pela variável e adicionando o número 3 ao resultado. Outros exemplos de expressões algébricas são e .
Algumas expressões algébricas assumem a forma de sentenças que relacionam duas expressões entre si. Uma equação é uma sentença formada pela comparação de duas expressões, afirmando que elas são iguais. Isto pode ser expresso usando o sinal de igual (), como em . As inequações envolvem um tipo diferente de comparação, afirmando que os dois lados são diferentes. Isso pode ser expresso usando símbolos como o sinal de menor que (), o sinal de maior que () e o sinal de desigualdade (). Diferentemente de outras expressões, as sentenças podem ser verdadeiras ou falsas, e o seu valor de verdade geralmente depende dos valores das variáveis. Por exemplo, a sentença é verdadeira se for 2 ou −2, e falsa caso contrário. As equações com variáveis podem ser divididas em equações de identidade e equações condicionais. As equações de identidade são verdadeiras para todos os valores que podem ser atribuídos às variáveis, como a equação . As equações condicionais são verdadeiras apenas para alguns valores. Por exemplo, a equação só é verdadeira se for 5.
O principal objetivo da álgebra elementar é determinar os valores para os quais uma sentença é verdadeira. Isto pode ser alcançado transformando e manipulando sentenças de acordo com certas regras. Um princípio chave que orienta este processo é o de que qualquer operação que seja aplicada a um lado de uma equação também precisa ser feita ao outro lado. Por exemplo, se subtrairmos 5 do lado esquerdo de uma equação, também precisaremos de subtrair 5 do lado direito para equilibrar ambos os lados. O objetivo destas etapas geralmente é o de isolar a variável de interesse de um lado, um processo conhecido como resolver a equação para essa variável. Por exemplo, a equação pode ser resolvida para adicionando-se 7 a ambos os lados, o que isola o no lado esquerdo e resulta na equação .
Existem muitas outras técnicas usadas para resolver equações. A simplificação é empregada para substituir uma expressão complicada por uma equivalente mais simples. Por exemplo, a expressão pode ser substituída pela expressão , visto que pela propriedade distributiva. Para sentenças com várias variáveis, a substituição é uma técnica comum para substituir uma variável por uma expressão equivalente que não usa essa variável. Por exemplo, se soubermos que , então podemos simplificar a expressão para chegar a . De forma semelhante, se o valor de uma variável for conhecido, ele poderá ser usado para determinar o valor de outras variáveis.
thumb|class=skin-invert-image|alt=Gráfico da equação "y = 0,5x − 1"|As equações algébricas podem ser usadas para descrever figuras geométricas. Todos os valores de e que resolvem a equação são interpretados como pontos. Eles são desenhados como uma reta vermelha inclinada para cima no gráfico acima
As equações algébricas podem ser interpretadas geometricamente para descrever figuras espaciais na forma de um gráfico. Para fazer isso, as diferentes variáveis na equação são entendidas como coordenadas e os valores que resolvem a equação são interpretados como pontos de um gráfico. Por exemplo, se for definido como zero na equação , então deve ser −1 para que a equação seja verdadeira. Isto significa que o par faz parte do gráfico da equação. O par , por outro lado, não resolve a equação e, portanto, não faz parte do gráfico. O gráfico engloba a totalidade de pares que resolvem a equação.
Polinômios
Um polinômio é uma expressão constituída por um ou mais termos que são adicionados ou subtraídos uns dos outros, como . Cada termo é uma constante, uma variável ou um produto de uma constante por variáveis. Cada variável pode ser elevada a uma potência inteira positiva. Um monômio é um polinômio com um termo, enquanto polinômios de dois e três termos são chamados de binômios e trinômios. O grau de um polinômio é o valor máximo (entre os seus termos) da soma dos expoentes das variáveis (4 no exemplo acima). Polinômios de grau um são chamados de polinômios lineares. A álgebra linear estuda sistemas de polinômios lineares. Diz-se que um polinômio é univariado ou multivariado, dependendo se ele utiliza uma ou mais variáveis.