Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória ou processo estocástico é uma medida da sua dispersão estatística, indicando "o quão longe" em geral os seus valores se encontram do valor esperado. RUNGER, George C.; MONTGOMERY, Douglas C. Applied Statistics and Probability for Engineers. 3rd ed. Mídia em CD: 2002. TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 10ª edição. Tradução: Vera Regina Lima de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 2005. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel. 4ª edição. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. EVANS, Lawrence C. An introduction to stochastic differential equations. Version 1.2. ver: http://math.berkeley.edu/~evans/SDE.course.pdf. 2012.

A variância de uma variável aleatória real é o seu segundo momento central e também o seu segundo cumulante (os cumulantes só diferem dos momentos centrais a partir do 4º grau, inclusive). Sendo o seu valor o quadrado do desvio padrão.

Algumas definições Variância de uma variável aleatória é a medida de dispersão ou espalhamento em torno dos possíveis valores dessa variável aleatória (tradução livre, ).

História do conceito O termo variância foi introduzido por Ronald Fisher num ensaio de 1918 intitulado de The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance. O conceito de variância é análogo ao conceito de momento de inércia em mecânica clássica. direita|miniaturadaimagem|301x301px|Exemplo de amostras de duas populações com a mesma média, mas variâncias diferentes. A população vermelha tem média e variância (), enquanto a população azul tem média e variância ().

Definição Se μ = E(X) é o valor esperado (média) da variável aleatória X, então a variância é:

Isto é, é o valor esperado do quadrado do desvio de X da sua própria média. Em linguagem comum isto pode ser expresso como "A média do quadrado da distância de cada ponto até a média". É assim a "média do quadrado dos desvios". A variância da variável aleatória "X" é geralmente designada por , , ou simplesmente .

Notar que a definição acima pode ser usada quer para variáveis aleatórias discretas, quer para contínuas.

Muitas distribuições, tais como a distribuição de Cauchy, não têm variância porque o integral relevante diverge. Em particular, se uma distribuição não tem valores esperados, ela também não tem variância.

O contrário não é verdadeiro: há distribuições para as quais existe valor esperado mas não existe variância, como, por exemplo, a distribuição t de Student com 2 graus de liberdade. Um contra-exemplo mais simples é uma distribuição discreta sobre em que a probabilidade de cada ponto n é proporcional a . O valor esperado será calculado através de uma série convergente , e a variância através de uma série divergente .

Exemplos

Distribuição exponencial A distribuição exponencial com parâmetro é uma distribuição contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por no intervalo . Sua média pode ser demonstrada como Usando integração por partes e fazendo uso do valor esperado já calculado, temos: Assim, a variância de é dada por

Dado honesto Um dado de seis faces honesto, isto é, um dado não viciado no qual todos os resultados têm a mesma probabilidade de ocorrer (equiprováveis), pode ser modelado como uma variável aleatória discreta, , com resultados de 1 a 6, cada um com probabilidade igual a 1/6. O valor esperado de é Portanto, a variância de é A fórmula geral para a variância do resultado, , de um dado de é

Distribuições de probabilidade comumente utilizadas A tabela a seguir lista a variância de algumas distribuições de probabilidade comumente usadas. Nome da distribuição de probabilidadeFunção de distribuição de probabilidadeMédiaVariânciaDistribuição binomialDistribuição geométricaDistribuição normalDistribuição uniforme (contínua)Distribuição exponencialDistribuição de Poisson

Propriedades Se a variância pode ser calculada (ou seja, a integral ou o somatório convergem), podemos concluir que ela nunca é negativa, porque os quadrados são sempre positivos ou nulos.

A unidade de variância é o quadrado da unidade de observação. Por exemplo, a variância de um conjunto de alturas medidas em centímetros será dada em centímetros quadrados. A variância de um preço, medido, por exemplo, em euros por metro cúbico, será dada em euros quadrados por metro à sexta potência, uma unidade que não faz nenhum sentido prático. Este facto é inconveniente e levou muitos estatísticos a usar a raiz quadrada da variância, conhecida como o desvio padrão, como um sumário da dispersão.

Pode ser provado facilmente a partir da definição que a variância não depende do valor médio . Isto é, se a variável é "deslocada" por uma quantidade b ao tomarmos X+b, a variância da variável aleatória resultante permanece inalterada. Por contraste, se a variável for multiplicada por um factor de escala a, a variância é então multiplicada por a2. Mais formalmente, se a e b forem constantes reais e X uma variável aleatória cuja variância está definida, então:

Outra fórmula para a variância que se deduz de forma simples a partir da definição acima é:

Na prática usa-se muito frequentemente esta fórmula para calcular mais rapidamente a variância.

Uma razão para o uso da variância em preferência a outras medidas de dispersão é que a variância da soma (ou diferença) de variáveis aleatórias independentes é a soma das suas variâncias. Uma condição não tão estrita, chamada de "incorrelação" (uncorrelatedness) também é suficiente. Para duas variáveis temos:

E em geral, para uma combinação linear qualquer:

Aqui é a covariância, a qual é zero para variáveis aleatórias não correlacionadas.

Variância da população e variância da amostra Em estatística, o conceito de variância também pode ser usado para descrever um conjunto de observações. Quando o conjunto das observações é uma população, é chamada de variância da população. Se o conjunto das observações é (apenas) uma amostra estatística, chamamos-lhe de variância amostral (ou variância da amostra).

A variância da população () de valores (onde ) é dada por:

onde é a média da população.

Se tentarmos estimar a variância da população a partir de uma amostra de tamanho com observações , um primeiro estimador intuitivo (usando o divisor ) seria:

onde é a média da amostra.

No entanto, este estimador é enviesado para baixo. A sua esperança matemática é , ou seja, em média ele subestima a verdadeira variância da população.

Para corrigir esse viés, aplica-se a chamada Correção de Bessel, substituindo o divisor por . Isso resulta na fórmula clássica da variância amostral (), que é um estimador não enviesado para a variância populacional ():

Essa correção se faz necessária porque, na prática, a verdadeira média da população () é desconhecida e acaba sendo estimada a partir dos próprios dados pela média amostral (). Como os valores da amostra tendem a estar mais próximos da sua própria média amostral do que da média populacional, o cálculo subestima a real dispersão dos dados. Se a verdadeira média populacional fosse conhecida, usar o divisor calculando os desvios em relação a produziria, de fato, um estimador não enviesado.

O estimador não enviesado (também chamado de estimador centrado) costuma ser denotado por , mas também pode aparecer como , ou até . Independentemente da notação, ao desvio padrão populacional está associada a letra grega e a divisão por , enquanto o desvio padrão amostral associa-se à letra e à divisão por , tendo sempre em conta que a variância é o quadrado do desvio padrão.

É intuitivo que, para amostras grandes, se possa admitir calcular a variância pela divisão por em vez de . Na prática, para um grande, esta distinção matemática torna-se insignificante.

Generalizações Se X é uma variável aleatória vectorial, com valores em Rn, e considerado como um vector coluna, então a generalização natural da variância é E[(X − μ)(X − μ)T], onde μ = E(X) e XT é a transposta de X, e logo um vetor-linha. A variância é uma matriz quadrada não-negativa definida, referida geralmente como a matriz de covariância.

Se X é uma variável aleatória de valores complexos, então a sua variância é E[(X − μ)(X − μ)*], onde X* é o conjugado complexo de X. Esta variância, assim como no caso real, é uma matriz quadrada não-negativa definida, cuja diagonal são números reais não-negativos. Algoritmos para cálculo da variância

Distribuição da variância Como a variância é uma função de variáveis aleatórias, a variância amostral é em si também uma variável aleatória, portanto também tem distribuição. Então, se yi são observações independentes de uma distribuição normal, pelo teorema de Cochran a variância amostral s2 tem uma distribuição qui-quadrado:

Uma consequência direta deste resultado é que a esperança da variância amostral E(s2) = σ2.

Se as observações yi são independentes e identicamente distribuídas, mas não necessariamente distribuidas como uma normal, então

onde κ é o excesso de curtose da distribuição. Se as condições da lei dos grandes números valerem, então s2 é um estimador consistente de σ2.

Variância assintótica

A variância assintótica é a variância limite, ou seja, aquela que a sequência, ou estimador, tem no limite.

Ver também Coeficiente de variação Valor esperado Desvio padrão Moda Assimetria (obliquidade) Curtose ANOVA

Categoria:Estatística