Em matemática, particularmente nos ramos da topologia algébrica e da álgebra homológica, um cociclo (em inglês: cocycle) é uma cocadeia que pertence ao núcleo do operador cobordo em um complexo de cocadeias. Em termos intuitivos, os cociclos representam funcionais algébricos "fechados" sobre as cadeias geométricas de um espaço topológico, constituindo o bloco fundamental a partir do qual são definidos os grupos de cohomologia.
O conceito de cociclo estende-se para além da topologia pura, desempenhando papel estrutural na geometria diferencial (sob a forma de formas diferenciais fechadas), na teoria dos fibrados (como funções de transição na cohomologia de Čech), na teoria de grupos (classificação de extensões de grupos e álgebra abstrata) e na teoria ergódica dos sistemas dinâmicos.
Definição formal em álgebra homológica Considere um complexo de cocadeias de grupos abelianos ou módulos sobre um anel , representado pela sequência:
onde cada aplicação homomórfica é denominada operador cobordo (ou diferencial), satisfazendo a propriedade de nilpotência fundamental:
Nesse contexto: Um elemento é denominado um -cociclo se for aniquilado pelo operador cobordo, isto é:
O conjunto de todos os -cociclos forma um subgrupo (ou submódulo) de , denotado por (da inicial da palavra alemã Zahlen, "números/ciclos"). Um elemento é denominado uma -coborda se estiver na imagem do operador cobordo anterior, ou seja, para algum . O subgrupo das cobordas é denotado por .
Como decorrência direta da identidade , toda coborda é necessariamente um cociclo, ou seja:
O -ésimo grupo de cohomologia do complexo é definido como o grupo quociente:
Dois cociclos pertencem à mesma classe de cohomologia se, e somente se, a sua diferença for uma coborda (). Nesse caso, diz-se que e são cociclos cohomólogos.
Dualidade com a homologia O conceito de cociclo é o análogo dual exato do conceito de ciclo em homologia: Em homologia, trabalha-se com um complexo de cadeias , onde o operador bordo reduz o grau (). Um elemento é um ciclo se . Em cohomologia, o complexo de cocadeias é gerado aplicando-se o functor de dualização algébrica a um complexo de cadeias, com coeficientes em um grupo abeliano :
O operador cobordo atua como o adjunto dual formal do operador bordo geométrico . Para uma cocadeia e uma cadeia , a avaliação bilinear satisfaz:
Assim, a condição de ser um cociclo () traduz-se geometricamente pela afirmação de que anula-se identicamente sobre qualquer bordo:
Manifestações em diferentes ramos da matemática
Geometria diferencial: a cohomologia de de Rham Na geometria diferencial de variedades diferenciáveis suaves , as -cocadeias correspondem às formas diferenciais de grau , denotadas pelo espaço . O operador cobordo é a derivada exterior .
Nesse arcabouço: Um -cociclo é exatamente uma forma diferencial fechada, isto é, uma forma satisfazendo:
Uma -coborda é uma forma diferencial exata, isto é, para alguma forma .
Pelo lema de Poincaré, toda forma fechada é localmente exata em vizinhanças contráteis de . A existência de cociclos fechados globais que não são cobordas exatas reflete a topologia global da variedade (a presença de "buracos" multidimensionais e classes de obstrução não triviais), conforme formalizado pelo teorema de de Rham.
Topologia simplicial e singular Na cohomologia simplicial ou singular com coeficientes em um grupo , uma -cocadeia associa a cada -simplexo singular um valor escalar em . O cobordo simplicial atua sobre um -simplexo avaliando a soma alternada das suas faces orientadas:
Para um 1-cociclo , a exigência aplicada a um 2-simplexo triangular com vértices orientados traduz-se na célebre relação de cociclo:
Essa relação expressa a aditividade ao longo de caminhos fechados, garantindo que o funcional depende apenas da classe de homotopia das trajetórias.
Cohomologia de Čech e funções de transição de fibrados Na geometria complexa e na teoria de feixes, a cohomologia de Čech computa obstruções a partir de uma cobertura aberta de um espaço topológico . Um 1-cociclo com valores em um feixe de grupos (como o feixe de funções invertíveis ou o grupo de Lie ) é uma família de seções locais definidas nas interseções duplas que satisfaz a condição de consistência triangular nas interseções triplas :
junto com e . Essa condição de cociclo é precisamente a propriedade necessária e suficiente para colar cartas locais e definir as funções de transição de um fibrado vetorial ou de um fibrado principal sobre .
Cohomologia de grupos e álgebra abstrata Na cohomologia de grupos, para um grupo discreto agindo sobre um -módulo : Um 1-cociclo (também chamado de derivação cruzada) é uma função satisfazendo:
Um 2-cociclo é uma função de duas variáveis satisfazendo a relação de associatividade:
Os 2-cociclos módulo 2-cobordas classificam todas as extensões centrais de grupos da forma , desempenhando papel proeminente na mecânica quântica em representações projetivas de grupos de simetria.
Teoria ergódica e sistemas dinâmicos Na teoria dos sistemas dinâmicos, um cociclo dinâmico sobre uma transformação mensurável que preserva medida com valores em um grupo topológico (usualmente o grupo linear ) é uma aplicação mensurável que obedece à equação:
Essa estrutura surge naturalmente na diferenciação do fluxo ao longo de trajetórias (cociclos derivados) e é a base sobre a qual se assenta a teoria dos expoentes de Lyapunov e o teorema ergódico de Oseledets.
Ver também Cohomologia Complexo de cadeias Ciclo (topologia) Forma diferencial Fibrado vetorial Álgebra homológica
Referências
Bibliografia
Categoria:Topologia algébrica Categoria:Álgebra homológica Categoria:Geometria diferencial