A análise é o ramo da matemática que estuda a representação de funções ou sinais como a sobreposição de ondas base. Ela investiga e generaliza as noções das séries de Fourier e da transformação de Fourier. As ondas básicas são chamadas de harmónicas, e este ramo da matemática logo passou a ser conhecido pelo nome de "análise harmónica". Nos dois séculos passados (XIX e XX), tornou-se um tema vasto, com aplicações em áreas tão diversas como o processamento de sinais, mecânica quântica, e ciência neuronal.
Determinação dos coeficientes de uma série trigonométrica Suponhamos que a função f(x) de uma variável real independente x, definida no intervalo (-π, +π), possa ser representada por uma série trigonométrica, “uniformemente convergente” em todos os seus pontos de definição, isto é:
(1)
As funções uniformes no intervalo (-π,+π) ou (0,2π), contínuas ou com número finito de descontinuidades finitas e que não tenham número infinito de máximos e mínimos no intervalo considerado podem ser desenvolvíveis em séries deste tipo. As funções encontradas em problemas práticos geralmente satisfazem estas condições. (Se x0 é um ponto de descontinuidade finita da função, a série dá para este ponto o valor médio.)
O cálculo do coeficiente an, do termo geral em cosseno, é obtido multiplicando-se ambos os membros de (1) por cos nx dx e integrando-se entre os limites –π e +π. Assim:
Logo:
Observação:
se m≠ne, portanto, a integral indefinida será:o que permite constatar que a integral definida (-π,+π) é nula.
se m=ne a integral indefinida seráque é nula no intervalo (-π,+π).
Analogamente, multiplicando-se ambos os membros de (1) por e integrando-se, obtemos:
Numericamente estes termos podem ser calculados assim:
onde: Δx = 2π/N (os intervalos Δx são iguais portanto, e em radianos) (1/π)Δx = Δx/π = (2π/N)/π = 2/N N = Número de intervalos correspondentes a um comprimento de onda.
Portanto:
Observação: Os valores de xn são convertidos para radianos: xn = 2π.(fração de λ correspondente a xn) isto é: xn = 2π.( xn' - x0' )/( xm' - x0' ) onde x0 é o valor da variável independente, em qualquer unidade, em que inicia se um comprimento de onda e xm' aquele em que termina o comprimento de onda considerado.
De forma análoga se calcula os coeficientes bn, sendo que b0 = 0 pois sen 0 = 0.
Se a função é simétrica em relação ao eixo x, dizemos que f e impar e não tem coeficientes de ordem par.
Ligações externas Harmônicos em Sistemas de Potência Aplicação da Análise Harmônica para previsão na cultura do café Harmonux, programa de código aberto em pascal
Bibliografia Matemática para a Engenharia, Homero Pinto Caputo, Ao Livro Técnico S.A., 1969