miniaturadaimagem|A distância euclidiana em duas dimensões. Em matemática, distância euclidiana é a distância entre dois pontos, que pode ser provada pela aplicação repetida do teorema de Pitágoras e, por isso, pode ser chamada de distância pitagórica. Aplicando essa fórmula como distância, o espaço euclidiano torna-se um espaço métrico.

O nome "distância euclidiana" vem do matemático grego Euclides. Em seus livros de Os Elementos, a distância não era representada por números, apenas por segmentos de mesmo comprimento. A conexão com o conceito de distância com o teorema de Pitágoras só foi realizada no século XVIII.

Definição A distância euclidiana entre os pontos e em um espaço euclidiano n-dimensional, é definida como:

Distância unidimensional Para pontos unidimensionais, e na reta real, a distância entre os dois é o módulo da diferença numérica entre suas coordenadas, isto é, a diferença absoluta. Assim, a distância é dada por:De outra forma, podemos obter o mesmo valor com:Nessa fórmula, elevar ao quadrado e tirar a raiz quadrada não altera os números positivos, mas substitui os negativos pelo valor absoluto.

Distância bidimensional No plano cartesiano, para pontos bidimensionais, e a distância é computada como:Isso pode ser demonstrado aplicando-se o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo com a horizontal e a vertical como catetos e o segmento de a como a hipotenusa. Tanto quanto , ao serem elevadas ao quadrado, fornecem as áreas dos quadrados do cateto horizontal e do vertical. A raiz quadrada sobre os dois converte, então, a área do quadrado da hipotenusa para o comprimento da hipotenusa.

Alternativamente, expressando-se em coordenadas polares, usando e a distância é computada utilizando a lei dos cossenos:Quando e são expressos como número complexos no plano complexo, a distância pode ser calculada a partir da norma da diferença entre os dois pontos.

Distância tridimensional Para pontos tridimensionais, e a distância é computada como:

Distância n-dimensional De forma geral, para pontos n-dimensionais, e a distância é computada como:

A distância euclidiana também pode ser expressada de forma mais compacta em termos da norma euclidiana da diferença dos vetores euclidianos:

Propriedades O espaço euclidiano é o exemplo inicial da distância em um espaço métrico e obedece todas as propriedades de tal espaço:

É simétrico, para quaisquer e , , ou seja, a distância entre dois pontos independe de qual ponto é o de partida e qual é o de chegada. É positivo, a distância sempre será um número positivo. A distância de um ponto para ele mesmo é zero. Obedece à desigualdade triangular: para cada três pontos , e , têm-se que . De maneira intuitiva, ir de a passando por não pode ser menor do que passar diretamente de a . Obedece à desigualdade de Ptolomeu: dados quatro pontos , , e , temos que É invariante à rotação.

História A distância euclidiana é a distância em um espaço euclidiano. Ambos conceitos foram nomeados em homenagem ao matemático da Grécia Antiga Euclides, que escreveu os livros de Os Elementos, que se tornou o tratado da geometria por muitos séculos. Os conceitos de comprimento e distância foram disseminados por diversas culturas e podem ser datados, através de alguns documentos que sobreviveram até os dias de hoje, do quarto milénio a.C. na Suméria, muito antes de Euclides. Há ainda uma hipótese em que os conceitos de tempo e velocidade são introduzidos nas crianças após os conceitos de distância e espaço. Além disso, diversos conceitos geométricos foram caracterizados em termos de distâncias.

Contudo, a noção de distância como um número ou uma medida definida entre dois pontos não aparece de fato no tratado de Os Elementos, Euclides aborda o conteúdo implicitamente, através da congruência de segmentos, da comparação entre comprimentos e da proporcionalidade.

O Teorema de Pitágoras é antigo, mas obteve o papel central no problema de medidas de distâncias após a invenção das coordenadas cartesianas de René Descartes em 1637. A fórmula da distância foi publicada pela primeira vez em 1731 por Alexis Claude de Clairaut. Por causa dessa fórmula, a distância euclidiana é, às vezes, chamada de distância pitagórica. Apesar de que medidas precisas de longas distâncias na superfície terrestre, que não é um espaço euclidiano, foram estudadas por muitas culturas desde os tempos antigos, foi apenas no século XIX que se desenvolveu uma Geometria não euclidiana. A definição da norma e distância euclidianas para geometria em dimensões maiores que três também surgiram no mesmo século, com o trabalho de Augustin-Louis Cauchy.

Ver também Distância de Mahalanobis Geometria do táxi Métrica (matemática) Erro percentual absoluto médio

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