thumb|Esboço do gráfico de uma função exponencial Chama-se função exponencial a função tal que em que , . O número é chamado de base da função. A função exponencial pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso a função é decrescente.

Definição formal A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.7, [ver wikisource]

Esta definição implica as seguintes propriedades:

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:

De fato, a função y = ax é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

Propriedades da função exponencial thumb|Função exponencial crescentethumb|Função exponencial decrescente A função exponencial de base , , tem as seguintes propriedades: para todo ; é função crescente se, e somente se, ; é função decrescente se, e somente se, ; é injetiva; é ilimitada superiormente; é contínua; é sobrejetiva; é bijetiva, isto é, possui uma função inversa, o logaritmo, denominada .

Demonstrações das propriedades Propriedade 1 Mostraremos, primeiro, que para todo . Com efeito, notamos que . Suponhamos, por contradição, que para algum . Mas, daí temos , uma contradição. Concluímos que para todo .

Como consequência para todo , uma vez que .

Propriedade 2 Sejam . Suponhamos, sem perda de generalidade, que . Tomamos, então, tal que . Segue que . Pela propriedade 1, temos . Logo, se, e somente se, . Como , se, e somente se, . Concluímos que, se, e somente se, .

Propriedade 3 Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 2.

Propriedade 4 Consequência imediata das propriedades 2 e 3.

Propriedade 5 Seja com . Tomamos tal que . Assim, pela desigualdade de Bernoulli, temos . Logo, dado qualquer , se escolhemos como o menor inteiro maior que , temos , i.e. é ilimitada superiormente. A demonstração é análoga para .

Propriedade 6 Para qualquer , temos está bem definida. Além disso, temos:

Como, , seque que: .

Lema Dados um número real e um intervalo , com , então existe um número racional tal que .

Suponhamos, sem perda de generalidade, que . Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural tal que: . Como consequência, existe um número natural tal que: . Daí, segue que: . Assim: . Desta forma, temos que:

é uma sequência finita, cujos termos são extremos de intervalos consecutivos de tamanho menor que o do intervalo . Logo, pelo menos um dos termos desta sequência deve pertencer a , i.e. para algum , temos com .

Propriedade 7 Seja . Suponhamos que . Usando o lema anterior construímos uma sequência não-decrescente limitada tal que . Pela completude dos números reais, temos que quando . Segue da continuidade de (propriedade 6), que:

i.e., dado , existe tal que . A demonstração para segue raciocínio análogo.

Propriedade 8 Consequência imediata das propriedades 4 e 7.

A função exponencial natural

thumb|Esboço do gráfico da função exponencial natural A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por ex ou exp(x), a função exponencial natural é uma das mais importantes funções da matemática e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

Aqui, corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor da base da exponencial natural, , é aproximadamente .

A exponencial natural satisfaz as seguinte propriedades: A função y = ex é contínua e diferenciável para todo x. A derivada da função y = ex é a própria função função y = ex. A função y = ex é positiva e crescente para todo número real x. ex+y = ex ey A curva y = ex jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:

Os valores de y=ex crescem ilimitadamente, isto é:

A função y=ex cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:

A função é igual a sua derivada, i.e.: .

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

Para todo a > 0 e

Derivada e integral da função exponencial thumb|Comportamento da função exponencial A derivada da função exponencial de base , é dada por: .

De fato, como temos da regra da cadeia que: .

De forma análoga, obtermos a derivada segunda:

Como é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a x, isto é a função exponencial é uma função convexa.

A integral indefinida da função exponencial é dada por: .

Ver também Crescimento exponencial

Exponencial Categoria:E (constante matemática)